幾何題解題技巧

在小學階段，我們學過許多關于幾何圖形面積計算的知識。在計算幾何圖形面積時，除了能正確運用面積計算公式外，還需要掌握一定的解題技巧。

一、割補法

割補法是指將一些不規則的、分散的幾何圖形經過分割、移補，拼成一個規則的幾何圖形，從而求出面積的方法。

例1如圖1，已知正方形的邊長是6厘米，求陰影部分的面積。

分析與解：如圖2所示，連接正方形的對角線，可以將陰影I分割成I1和I2兩部分，然后將陰影I1移至空白I1′處，將陰影I2移至空白I2′處，這樣陰影部分就拼成了一個等腰直角三角形。要求陰影部分的面積，只要求出這個等腰直角三角形的面積即可，列式為：6×6÷2＝18（平方厘米）。

練一練1：如圖3，已知AB＝BC＝4厘米，求陰影部分的面積。

二、平移法

平移法是指把一些不規則的幾何圖形沿水平或垂直方向移動，拼成一個規則的幾何圖形，從而求出面積的方法。

例2如圖4，已知長方形的長是12厘米，寬是6厘米，求陰影部分的面積。

分析與解：如圖5所示，連結長方形兩條長的中點，把陰影部分分成左右兩部分，然后把左邊的陰影部分向右平移至空白處，這樣陰影部分就轉化成了一個邊長為6厘米的正方形。要求陰影部分的面積，只要求出這個正方形的面積，列式為：6×6＝36（平方厘米）。

練一練2： 如圖6，求陰影部分的面積（單位：分米）。

三、旋轉法

旋轉法是指把一些幾何圖形繞某一點沿順時針（或逆時針）方向轉動一定的角度，使分散的、不規則的幾何圖形合并成一個規則的幾何圖形，從而求出面積的方法。

例3如圖7，已知ABC是等腰直角三角形，斜邊AB＝20厘米，D是AB的中點，扇形DAE和DBF都是圓的，求陰影部分的面積。

分析與解：如圖8所示，把扇形DBF繞D點沿順時針方向旋轉180°后，扇形DBF與扇形DAE就合并成了一個半徑為10厘米的半圓，兩個空白三角形也合并成了一個直角邊為10厘米的等腰直角三角形，要求陰影部分的面積，只要用半圓的面積減去空白部分的面積即可，列式為：3.14×（20÷2）2÷2－（20÷2）2÷2＝107（平方厘米）。

練一練3： 如圖9，在直角三角形ABC中有一個正方形BDEF，E點正好落在直角三角形的斜邊AC上，已知AE＝8厘米，EC＝12厘米，求圖中陰影部分的面積。

四、等分法

等分法是指把一個幾何圖形平均分成若干個完全相同的小圖形，然后根據大圖形與小圖形面積之間的倍數關系進行求解的方法。

例4如圖10，三角形ABC的面積是48平方分米，點D、E、F與G、H、I分別是三角形ABC與三角形DEF各邊的中點。求陰影部分的面積。

分析與解：通過作輔助線，可以將三角形ABC平均分成16個完全一樣的小三角形（如圖11所示），陰影部分為其中3個小三角形，即陰影部分的面積占三角形ABC的面積的。陰影部分的面積為：48×＝9（平方分米）。

練一練4： 如圖12所示，長方形ABCD的長是10厘米，寬是6厘米，E、F分別是AB和AD的中點，求陰影部分的面積。

五、軸對稱法

軸對稱法是指根據軸對稱圖形的特點，在原圖上再構造一個完全相同的圖形，使原圖的面積擴大2倍，然后通過計算新圖形的面積來求出原圖面積的方法。

例5如圖13，在扇形OAB中，OA、OB的長均為6厘米，∠AOB＝45°，求陰影部分的面積。

分析與解：如圖14所示，根據軸對稱圖形的特點，以OB邊所在的直線為對稱軸，作一個與扇形OAB完全一樣的扇形OA′B，這樣兩個扇形就組成了一個圓。陰影部分的面積就相當于用圓的面積減去等腰直角三角形AOA′的面積，然后再除以2，列式為：（3.14×62×－6×6÷2）÷2＝5.13（平方厘米）。

練一練5： 如圖15所示，已知等腰直角三角形ABC的斜邊AC長是8厘米，求這個三角形的面積。

六、整體分析法

整體分析法是指不注重對問題局部細節的考慮，而著眼于把局部放在一個整體中，通過觀察、分析，尋求局部與整體之間的聯系，從而找到解決問題的方法。

例6如圖16，已知大圓的直徑是20厘米，求陰影部分的面積。

分析與解：通過仔細觀察圖形，我們可以發現：在大圓中，與陰影Ⅰ、陰影Ⅱ、陰影Ⅲ面積相等的圖形均有4個，其中陰影1個，空白3個。要求陰影部分的面積，就相當于把大圓的面積平均分成4份，求其中一份的面積，列式為：3.14×（20÷2）2÷4＝78.5（平方厘米）。

練一練6： 如圖17所示，已知大圓的直徑是16厘米，求陰影部分的面積。

七、等量代換法

等量代換法是指根據題目中圖形之間面積相等的關系，以此代彼，相互替換，從而求出面積的方法。

例7如圖18，長方形ABCD的面積為1500平方厘米，陰影部分的面積為880平方厘米，求四邊形EFGO的面積。

分析與解：在長方形ABCD中，△ABF與△DBF同底（即BF的長）、等高（即長方形的寬），所以S△ABF＝ S△DBF 。若從這兩個三角形中同時減去△BEF，則剩下的圖形面積相等，即：S△ABE＝S△DEF 。這樣S陰影＝S四邊形EFGO＋

S△ACD ，則S四邊形EFGO＝S陰影－S△ACD 。四邊形EFGO的面積為：880－1500÷2＝130（平方厘米）。

練一練7： 如圖19所示，已知平行四邊形EFGH的底是8厘米，高是6厘米，陰影部分的面積是16平方厘米，求四邊形ABCD的面積。

八、兩次求差法

兩次求差法是指根據圖形之間相容相斥的原理，通過兩次求差求出面積的方法。

例8如圖20，長方形ABCD的長是6厘米，寬是4厘米，求陰影部分的面積。

分析與解：從圖中可以看出：陰影部分面積等于扇形ADE的面積減去空白部分AFCD的面積。AFCD是一個不規則的圖形，它的面積無法直接求出，可以用長方形ABCD的面積減去扇形ABF的面積得出。空白部分AFCD的面積為：6×4－3.14×42×＝11.44（平方厘米），陰影部分的面積為：3.14×62×－11.44＝16.82（平方厘米）。

練一練8：如圖21所示，已知正方形ABCD的邊長是8分米，求陰影部分的面積。

九、比例法

比例法是指根據幾何圖形中相關聯的量之間的正、反比例關系求出面積的方法。

例9如圖22，在梯形ABCD中，BC＝2AD，BF＝2EF，E是CD的中點。已知梯形ABCD的面積是72平方厘米，求陰影部分的面積。

分析與解：在梯形ABCD中，三角形BCD與三角形ABD的高相等，底BC＝2AD，所以三角形BCD與三角形ABD的面積比為2∶1，三角形BCD的面積為72÷（2＋1）×2＝48（平方厘米）。由于E是CD的中點，三角形BDE與三角形BCE的面積相等，三角形BDE的面積為48÷2＝24（平方厘米）。又因為三角形BDF與三角形EDF的高相等，底BF＝2EF，所以三角形BDF與三角形EDF的面積比為2∶1，三角形BDF的面積為24÷（2＋1）×2＝16（平方厘米）。

練一練9： 如圖23所示，平行四邊形ABCD的面積是96平方分米，BE＝2DE，AF＝3DF，求三角形DEF的面積。

十、方程法

方程法是指通過設未知數列方程的方法，求出某條線段的值，然后再求出面積的方法。

例10如圖24，在直角三角形ABC中有一個正方形BDEF，已知AB＝3厘米，BC＝4厘米，AC＝5厘米，EG垂直于AC，且EG＝0.3厘米。求正方形BDEF的面積。

分析與解：如圖25，連接AE、BE、CE。要求正方形BDEF的面積，一般要先求出其邊長，根據題目中的條件，我們可以采用列方程的方法求出正方形邊長。設正方形BDEF的邊長為x厘米，根據S△ABE＋S△BCE＋S△ACE＝S△ABC，可列方程為：3x×＋4x×＋5×0.3×＝3×4×，解：x＝1.5。正方形BDEF的面積為：1.5×1.5＝2.25（平方厘米）。

練一練10： 如圖26所示，長方形ABCD的長是8分米，寬是6分米，BE＝2AE，三角形ECG的面積18平方分米，OF的長是多少分米？