先等分再比較

【題目】

如圖1，長方形的長是12厘米，寬是6厘米。把長三等分，寬兩等分，并把長方形內任意一點與所有的等分點及4個頂點全部連接起來。陰影部分面積是空白部分面積的幾分之幾。

【思路點睛】

方法一：可以先把陰影部分每個三角形的面積求出來，再求陰影部分面積占空白部分面積的幾分之幾。為了敘述方便，先將陰影部分每個三角形標上序號（如圖2）。因為長方形的長是12厘米，把長3等分，每份就是4厘米；長方形的寬是6厘米，把寬2等分，每份就是3厘米。那么，①號三角形、②號三角形和③號三角形的底都是長方形長的，即12×＝4（厘米），高都是長方形寬的，即6×＝3（厘米）。因此，這三個三角形的面積都是：4×3÷2＝6（平方厘米）。

而④號三角形的底是長方形長的，即12×＝8（厘米），它的高也是3厘米。所以它的面積是：8×3÷2＝12（平方厘米）。

由此我們可以得出：陰影部分的面積是：6×3＋12＝30（平方厘米）。而長方形的面積是12×6＝72（平方厘米），空白部分的面積就是72－30＝42（平方厘米）。所以，陰影部分面積是空白部分面積的：30÷42＝。

有沒有簡便方法呢？請同學們自己先想一下。

方法二：其實，本題中除了①號、②號和③號三角形等底等高面積相等之外，還有⑤號、⑥號、 ⑦號、⑧號及⑨號三角形都與①號、②號和③號三角形等底等高面積相等（如圖3）。從圖3還可以看出，④號三角形的面積與⑦號、⑨號兩個三角形面積的和相等，即④號三角形的面積是⑨號三角形面積的2倍。因此，我們還可以把④號三角形以及最后一個空白部分的三角形繼續平均分成2份（如圖4）。這樣，這個長方形就被平均分成了面積相等的12個小三角形，陰影部分有5個這樣的小三角形，空白部分有7個這樣的小三角形。所以，陰影部分面積是空白部分面積的。