分數應用題解題技巧（下）

六、假設法

假設法就是把兩個不同的數量或分率假設為相同的數量或分率，然后再與已知條件配合推算，從而使問題獲得解決的方法。

例1花園小學上學期共有學生750人，本學期男生增加了，而女生減少了，這樣本學期共有學生710人。本學期男、女生各有多少人？

分析與解 假設本學期女生不是減少，而是增加，則本學期應該共有學生750 × （1 ＋ ） ＝ 875（人），比實際多了875 － 710 ＝ 165（人）。這165人就相當于女生增加的人數與減少的人數的和，即165人相當于上學期女生人數的（ ＋ ），上學期女生有165 ÷ （ ＋ ） ＝ 450（人），本學期女生有450 × （1 － ） ＝ 360（人），本學期男生有710 － 360 ＝ 350（人）。

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1. 甲、乙、丙三人共植樹44棵，甲比乙少植4棵樹，乙與丙植樹棵數的比是3∶ 2，甲植樹多少棵？

2. 六（2）班上學期有學生54人，本學期男生增加了，女生增加了，這樣本學期共有學生62人。本學期男、女生各有多少人？

七、替換法

替換法是指根據題目中數量間的相等關系，以此代彼，相互替換，從而使問題獲得解決的方法。

例2果園里有桃樹和梨樹共165棵，桃樹棵數的等于梨樹棵數的。桃樹、梨樹各有多少棵？

分析與解 果園里桃樹和梨樹共165棵，則165 × 相當于桃樹棵數的與梨樹棵數的的和。由于“桃樹棵數的等于梨樹棵數的”，因此可以用梨樹棵數的來替換桃樹棵數的（如下圖）。這樣，165 × 就相當于梨樹棵數的（ ＋ ）。梨樹棵數為165 × ÷ （ ＋ ）＝90（棵），桃樹棵數為165 － 90 ＝ 75（棵）。

例3甲、乙兩筐蘋果共240千克，甲筐蘋果的比乙筐蘋果的少25千克，甲、乙兩筐蘋果各有多少千克？

分析與解 甲、乙兩筐蘋果共240千克，則240×相當于甲筐蘋果質量的與乙筐蘋果質量的的和。由題意得，甲筐蘋果質量×＝乙筐蘋果質量 × － 25。因此我們可以用“乙筐蘋果質量×－25”來替換“甲筐蘋果質量×”（如下圖）。這樣，240×就相當于“乙筐蘋果質量×－25＋乙筐蘋果質量×”，則240×＋25就相當于乙筐蘋果×（＋）。乙筐蘋果為（240×＋25）÷（＋）＝180（千克），甲筐蘋果為240－180＝60（千克）。

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3. 圖書館的故事書比科技書多60本，故事書本數的等于科技書本數的，故事書和科技書各有多少本？

［提示：60×求的是什么？怎樣進行替換？］

4. 光明小學五、六年級共有學生102人，從五年級學生中抽取的人與從六年級抽取的人可以組成一個66人的合唱隊。五、六年級各有學生多少人？

八、還原法

從題目最后的結果出發，運用加法與減法、乘法與除法的互逆關系，從后往前一步一步地推算，逐步使問題獲得解決的思考方法稱為還原法。

例4修路隊修一段公路，第一天修了全長的多30米，第二天修了余下的少24米，還剩360米沒有修。這段公路全長多少米？

分析與解 從“還剩360米沒有修”入手倒著往前推。假如第二天正好修了余下的，則還沒有修的公路長360 － 24 ＝ 336（米）。也就是說，336米就是第一天修后余下的1－，所以第一天修后余下的公路長336÷（1－） ＝ 420（米）。同樣，假如第一天正好修了全長的，則還剩下420＋30＝450（米），450米就是這段公路全長的（1－），所以這段公路全長為450÷（1－）＝600（米）。列綜合算式為［（360－24）÷（1－）＋30］ ÷（1－）＝600（米）。

例5甲、乙兩個倉庫共存糧900噸，如果從甲倉庫取出放入乙倉庫，再從乙倉庫取出放入甲倉庫，這時甲、乙兩個倉庫存糧噸數一樣多。原來甲、乙兩個倉庫各存糧多少噸？

分析與解 根據“這時甲、乙兩個倉庫存糧噸數一樣多”可知，這時每個倉庫存糧噸數為900 ÷ 2 ＝ 450（噸）。假如乙倉庫沒有取出放入甲倉庫，則乙倉庫的存糧噸數為450÷（1－） ＝ 600（噸），這時甲倉庫的存糧噸數為900 － 600 ＝ 300（噸）。由于300噸是從甲倉庫取出放入乙倉庫后剩下的噸數，則原來甲倉庫存糧的噸數為300÷ （1 － ）＝400（噸），乙倉庫存糧的噸數為900 － 400 ＝ 500（噸）。

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5. 一堆西瓜，第一次賣出總個數的多4個，第二次賣出余下的少3個，第三次賣出余下的，還剩下28個沒有賣。這堆西瓜共有多少個？

6. 甲、乙、丙三桶油共重45千克，如果把乙桶內的油倒入丙桶，再把甲桶內的油倒入乙桶，這時三桶油的質量相等。原來每個桶各有油多少千克？

九、比例法

同學們都知道，在比例里，兩個外項的積等于兩個內項的積。這叫作比例的基本性質。如果運用比例的基本性質解答分數應用題，可以使很多問題化繁為簡、由難變易，收到事半功倍的效果。

例6飼養場養的白兔和灰兔共有720只，白兔只數的等于灰兔只數的。白兔、灰兔各有多少只？

分析與解 由條件“白兔只數的等于灰兔只數的”可得到等式“白兔只數×＝灰兔只數×”。根據比例的基本性質，可以列出這樣的比例式：白兔只數∶灰兔只數＝∶。將∶化簡后就可以求出白兔與灰兔的只數比為5∶4，然后按照按比例分配應用題的方法進行解答。

720 × ＝ 400（只）

720 × ＝ 320（只）

答：白兔有400只，灰兔有320只。

例7花園小學有學生1260人，若組織全校男生的和全校女生的參觀靜海寺，其余學生祭掃雨花臺烈士陵園，結果發現掃墓的男、女生人數正好相等。該校男、女生各有多少人？

分析與解 根據條件“若組織全校男生的和全校女生的參觀靜海寺，其余學生祭掃雨花臺烈士陵園”，可知“全校男生的（1-）和全校女生的（1-）祭掃雨花臺烈士陵園”。因為“掃墓的男、女生人數正好相等”，所以“全校男生人數的（1-）等于全校女生人數的（1-）”。即全校男生人數×（1-）＝全校女生人數×（1-）。根據比例的基本性質，可以將上面的等式轉化為這樣的比例式：全校男生人數∶全校女生人數＝（1-）∶（1-）。然后將（1-）∶（1-）化簡后，再進行解答。

（1-）∶（1- ） ＝∶＝ 4∶3

1260 × ＝ 720（人）

1260 × ＝ 540（人）

答：花園小學男生有720人，女生有540人。

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7. 有兩袋大米，第一袋比第二袋重3千克，第一袋用去，第二袋用去后，兩袋剩下的大米質量相等。原來兩袋大米各有多少千克？

十、方程法

有一些數量關系比較復雜的分數應用題，用算術方法解答比較繁難，甚至無法列出算式，這時我們可以根據題中的等量關系列方程解答。

例8學校舉行繪畫比賽，參賽的女生比男生多28人，比賽結果：男生全部獲獎，女生有的人沒有獲獎，獲獎總人數是42人。參加比賽的學生共有多少人？

分析與解設參賽的男生有x人，則參賽的女生有（x+28）人。根據“獲獎的男生人數＋獲獎的女生人數＝獲獎總人數”可列方程為：

x ＋ （x ＋ 28） × （1 － ） ＝ 42

x ＋ （x ＋ 28） × ＝42

x ＋ x ＋ 21 ＝ 42

x ＝ 21

x ＝ 12

12 ＋ （12+28） ＝ 52（人）

答：參加比賽的學生共有52人。

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8. 原來甲、乙兩個書架上共有圖書1200本，將甲書架上的書增加，乙書架上的書減少，這樣兩個書架上的書就一樣多。原來甲、乙兩個書架各有圖書多少本？