與正方形相關的探究題賞析

規律性試題有助于引導同學們在平時的學習過程中進行自覺的探索，培養同學們的探究能力，近年來的中考試卷上，規律性試題在各個知識點上都有體現.

一、以正方形的個數為載體

例1（2007年武漢市）下列圖案是由邊長為單位長度的小正方形按一定的規律拼接而成.依此規律，第5個圖案中小正方形的個數為.

解析：第一個圖案的小正方形個數是1；第二個圖案的小正方形個數是5；第三個圖案的小正方形個數是13；根據已給的三個圖案的規律可以畫出第四個圖案的小正方形的個數為25.觀察數1、5、13、25，可以探究其規律為：5=1+4×1；13=5+4×2；25=13+4×3；依此規律（每相鄰兩個圖案的小正方形個數的差是4的連續倍數），第5個圖案中小正方形的個數為：25+4×4=41.

二、以正方形的面積為載體

例2（2007年煙臺市）將n個邊長都為1cm的正方形按如圖所示的方法擺放，點A ，A ，L，A 分別是正方形的中心，則n個這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為（）.

三、以正方形的周長為載體

例3（2007年溫州市）意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一組數：1，1，2，3，5，8，13，…，其中從第三個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和. 現以這組數中的各個數作為正方形的長度構造如圖所示的正方形：

再分別依次從左到右取2個、3個、4個、5個正方形拼成如下矩形并記為①、②、③、④.相應矩形的周長如下表所示：

若按此規律繼續作矩形，則序號為⑩的矩形周長是 .

解析：理解斐波那契數列的意義，觀察分析可知：圖①、②、③、④的周長數6、10、16、26也是斐波那契數列，即16=10+6；26=16+10；所以第⑤個圖的周長為26+16=42；第⑥個圖的周長為42+26=68；第⑦個圖的周長為68+42=110；第⑧個圖的周長為110+68=178；第⑨個圖的周長為178+110=288；第⑩個圖的周長為288+178=466.

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