淺議平面解析幾何中直線部分的解題思路

【摘要】 在數學學習中，許多同學感覺到對所學習的基本概念已經理解、基本公式已經熟記，但是在做題時卻力不從心，這是為什么呢？我認為：一是在學習中沒有注意總結歸納基本題型及其解法；二是知道老師歸納過的一些題型解法，但不會進行轉化?，F介紹平面解析幾何直線部分的一些基本題型及其轉化方法。

【關鍵詞】 平面解析幾何；直線；解題思路

【中圖號】 G633.65 【文獻標示碼】 A 【文章編號】 1005-1074(2008)12-0224-02

1 關于求點P分有向線段所成的比的問題

一般要根據已知條件畫出線段P1P2，在P1P2所在直線上找到分點P的位置，并確定λ的正負性，再根據P1、P、P2之間的長度關系或坐標關系計算出λ的值。例如A、B、C三點共線，點C分所成的比是-3，求B分所成的比。分析：根據λ值的分布規律見圖(一)。

圖1分布規律

由λ=-3知，點C在AB的延長線上，且AB=2BC，所以點B分AC——所成的比λ0 =ABBC= 2

2 關于判斷或證明平面內三點共線問題的一般方法：

2.1 用λ=P1PPP2= x-x1x2-x= y-y1y2-y 公式 只要根據三點坐標分別計算出x-x1x2-x和 y-y1y2-y的值，若相等則共線，否則不共線；

2.2 用距離公式 根據三點坐標分別計算每兩點之距，若最大的距離等于另兩個較小距離之和則這三點共線，否則不共線；

2.3 用斜率公式 分別計算一個點與另兩個點連線的斜率，若兩斜率相等或者兩斜率都不存在，則這三點共線，否則不共線；

2.4 用直線方程 計算經過其中兩個點的直線方程，再判斷另一個點的坐標是否滿足該直線方程，若滿足則這三點共線，否則不共線。

3 求一點P(x0，y0)關于一條直線Ax+By+C=0的對稱點P1的坐標的問題

①直線Ax+By+C=0為特殊直線y=x、y=-x、x軸、y軸時，P1的坐標分別為(y0，x0)、(-y0，-x0)、(x0，-y0)、(-x0，y0)。②直線Ax+By+C=0為一般直線時，可設P1的坐標為(x1，y1)，則PP1的中點滿足直線方程Ax+By+C=0，并且PP1的斜率與直線Ax+By+C=0的斜率之積為-1，可以得到關于x1、y1的一個二元一次方程組，從而可以解出x1、y1。③公式法：設P1的坐標為(x1，y1)，由公式x1=x0-2A(Ax0+By0+C)A2+B2

y1=y0-2B(Ax0+By0+C)A2+B2求出x1、y1的值。

4 求一直線A1x+B1y+C1=0關于直線A0x+B0y+C0=0對稱的直線方程

4.1 直線A0x+B0y+C0=0為特殊的直線x軸、y軸、y=x、y=-x時 直線A1x+B1y+C1=0關于直線A0x+B0y+C0=0對稱的直線方程分別為A1x-B1y+C1=0、-A1x+B1y+C1=0、A1y+B1x+C1=0、-A1y-B1x+C1=0。

4.2 直線A0x+B0y+C0=0為一般直線時 ①直線A0x+B0y+C0=0與直線A1x+B1y+C1=0平行時，則只需用兩平行直線距離公式即可求出要求直線；②若直線A0x+B0y+C0=0與直線A1x+B1y+C1=0相交于一A點時，利用到角公式就可以求得直線A1x+B1y+C1=0關于直線A0x+B0y+C0=0對稱的直線的斜率k，再利用直線的點斜式方程即可求出要求直線的方程。

5 求直線A1x+B1y+C1=0關于點P(x0，y0)對稱的直線方程

根據對稱性，只需將直線方程A1x+B1y+C1=0中的x換為2x0-x、y換為2y0-y，即可求出要求直線的方。

已知一直線ι被兩條已知直線ι1：A1x+B1y+C1=0、ι2：A2x+B2y+C2=0所截得的線段中點P的坐標為（x0，y0），求這條直線的方程見圖（二）所示。

圖2直線的方程

解法一：設直線ι與直線ι2相交于A(x1，y1)，因為P(x0，y0)是線段AB的中點，所以直線ι與直線ι2的交點B的坐標為(2x0- x1， 2y0-y1).將點A(x1，y1)、交點B(2x0- x1， 2y0-y1)的坐標分別代入直線ι1：A1x+B1y+C1=0、ι2：A2x+B2y+C2得方程組Ax1+By1+C=0

A(2x0-x1)+B(2y0-y1)+C=0解這個方程組得x1，y1的值，再由兩點式就可以得到直線ι的方程。

解法二：由題意，先求直線A1x+B1y+C1=0關于點P(x0，y0)對稱的直線BC的方程，再與A2x+B2y+C2=0聯立方程組求出交點B的坐標，根據兩點式方程就可以求出要求的直線BP的方程。已知△ABC的一頂點A的坐標為(x0，y0)，∠B、∠C的內角平分線分別為直線A1x+B1y+C1=0與A2x+B2y+C2=0，求邊BC所在的直線方程。見圖（三）所示。

圖3根據角平分線的性質，點Ａ分別關于∠B、∠C的內角平分線分別為直線A1x+B1y+C1=0與A2x+B2y+C2=0的對稱點P、D均在直線BC上，所以只要分別計算出P、D的坐標，再由兩點式方程即可得BC所在直線方程。

6 關于判斷直線系F(x，y，λ)=O(λ為參數)，是否過定點，若過定點并求出該定點的方法

方法一:觀察法.觀察直線系方程F(x，y，λ)=O (λ為參數)是否存某一個常數x0，使得當x=x0時，可以得y=y0是與λ無關的一個值。若存在，直線系F(x，y，λ)=O(λ為參數)就過定點（x0，y0），若不存在，則直線系F(x，y，λ)=O(λ為參數)就不過定點。方法二：將直線系方程F(x，y，λ)=O(λ為參數)變形為方程f(x，y)+λg(x，y)=0，令f(x，y)=0

g(x，y)=0若該方程組有解，則直線系F(x，y，λ)=O(λ為參數)就過定點，若這個方程組無解，則直線系F(x，y，λ)=O(λ為參數)就不過定點。

7 關于過點A(x0，y0)，入射光線遇直線A1x+B1y+C1=0的反射光線經過點B(x1，y1)，求反射線所在直線方程的有關問題見圖4。

根據光學性質，點A關于直線A1x+B1y+C1=0的對稱點C在反射光線所在的直線上.因此，只要求出A點關于直線A1x+B1y+C1=0的對稱點C的坐標。這樣，就知道了反射光線BD上兩點的坐標，由兩點式就得到反射線所在直線方程。

圖4

8 參考文獻

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3 劉朝顯.一道平面解析幾何題的最佳解法[J].數學教學通訊，1992，(04)

4 張曉寧.如何利用數形結合巧解平面解析幾何問題[J].商情(科學教育家)，2007，(12)

5 胡文富.數形結合的運用[J].云南教育(基礎教育版)，2004，(35)

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文