擬恰當半群之間的關系探析

摘 要：擬恰當半群有許多類，給出豐富的例子說明了類型半群、弱類型半群與好擬恰當半群這幾類擬恰當半群之間的關系。

關鍵詞：擬恰當半群；類型W半群；弱類型W半群；好擬恰當半群

中圖分類號：0152.7文獻標識碼：A文章編號：1672-3198（2008）08-0288-02

作為純正半群在富足半群中的推廣，擬恰當半群吸引了許多作者的關注。El-Qallali在1981年于文獻［1］中提出了類型W半群，又在1992年于文獻［2］中提出了弱類型W半群，這兩類擬恰當半群的結構都已經給出。最近，K.P. Shum［3］等提出了好擬恰當半群。本文致力于研究類型W半群、弱類型W半群和好擬恰當半群這兩類擬恰當半群之間的關系。

本文采用文獻［4］、［5］和［6］中使用的記號。

1 基本概念和結果

首先回顧有關富足半群的定義和性質。對半群S的元素a和b，aL*b表示對任意的x，y∈S1當且僅當bx=by。關系R*可對偶地定義。顯然，L*是S上的右同余而R*是S上的左同余。對所有關于L*的結論，對偶地有關于R*的結論。L*⌒R*記為H*。眾所周知且容易證明對于正則元x，y∈S1，(x，y)∈L*當且僅當(x，y)∈L*。特別地，如果S是正則半群，則L=L*。半群稱為富足半群，若它的每個L*-類和每個R*-類都包含一個冪等元。對于a∈S，a*表示La*⌒E(S)中的一個典型冪等元，a+表示R*a⌒E(S)中的一個典型冪等元。稱一個富足半群為擬恰當［恰當］半群，如果它的冪等元集形成一個帶［半格］。在本文中用E(S)表示半群S上的冪等元集。

稱半群同態:S→T為好同態如果對S的所有元素a，b：aL*意味著aL*b以及aR*(S)b意味著aR*(T)b。稱半群S上的同余ρ為好同余，如果從S到S/ρ上的自然同態是好同態。

半群S上的關系μL，μR，和μ定義如下（文獻［5］）：

（a，b）∈μL當且僅當（ea，eb）∈L*(e∈E)，

（a，b）∈μR當且僅當（ae，be）∈L*(e∈E)，

μ=μL⌒μR

擬恰當半群S上的關系δ定義如下（文獻［1］）：對所有的a，b∈S，aδb當且僅當存在a+，a*，b+，b*使E(a+)aE(a*)=E(b+)bE(b*)。

其中E(e)是帶E(S)中的包含e的J-類。

命題1 （文獻［1］）S上的關系δ是同余當且僅當aE(a*)E(b+)bE((ab)+)abE((ab)*)對所有的 成立。

設半群S是擬恰當半群，其冪等元集為B，稱S是滿足IC條件的當且僅當對任意的a∈S，對某些a+∈R*a⌒E(s)，a*∈R*a⌒E(s)，a*∈L*a⌒E(s)存在雙射α:＜a+＞→＜a*＞滿足xa=a(xα)(x∈＜a+＞)。滿足IC條件且關系δ是同余的擬恰當半群稱為類型W半群。若擬恰當半群S上的關系μ是好同余，而關系δ是同余，則稱S是弱類型W半群。

定義1 （文獻［3］）設S是擬恰當半群。我們稱以下條件為弱類型A條件：

對任意的a，b∈S和e，f∈E(s)，WTA(i)αefR*(ae+)af，WTA(ii)fealL*fa(ea)*。

如果擬恰當半群S滿足弱類型A條件，且關系δ是S上的同余，則稱S為好擬恰當半群。恰當的好擬恰當半群成為好恰當半群。

2 主要結論

例1 （文獻［5］中的例2.2）令s={e，f，g，h，z，a，b，c}，其乘法運算Cayley表如下：

#8226;efghzabc

eefgzzabc

fffzzzbbz

ggzgzzczc

hzzzhzzzz

zzzzzzzzz

azzzazzzz

bzzzbzzzz

czzzczzzz

由表中可看出，E（S）={e，f，g，h，z}為半格，S上的L*-類分別為：{a，b，c，h}，{e}，{f}，{g}，{z}，S上的R*-類分別為：{a，e}，{b，f}，{c，g}，{h}，{z}，而δ=μ=H*=ts，即S上的恒等關系，所以S是弱類型W半群。但由于gfa=za=z，ga(fa)*=ch=c，而z與c并無L*關系，因而gfa與ga(fa)*，即L*不滿足條件WTA(ii)，從而S是弱類型W半群但不是好擬恰當半群。

例2 （文獻［5］中的例2.4）設A是由元素a生成的無限循環半群，B是由元素b及恒等元e生成的無限循環幺半群。令S=A∪B∪{1}，其中1為S的恒等元。定義S上的乘法為：ambn=bm+n，bnam=am+n其中m，n∈Z，m＞0，n≥0，且b0=e。則S上的冪等元集為{1，e}。S上的L*-類分別為：A∪{1}，B，S上的R*-類分別為：A∪B，{1}。經驗證S是好擬恰當半群，但是S上μL-類為A，B，{1}，而μR，即μ=μL∩μR=μL，S/μ=R2∪{1}，其中R2是僅含兩個元素的右零半群。由于1與a在S上有L*關系，而1μ在aμ上并無L*關系，所以S是好擬恰當半群但不是弱類型W半群。

從上述兩個例子我們可以得出：

結論1：弱類型W半群和好擬恰當半群是兩類互不包含的擬恰當半群。

既然如此，弱類型W半群和好擬恰當半群是否包含了所有的擬恰當半群呢？既是弱類型半群又是好擬恰當半群的擬恰當半群是否存在呢？針對以上問題，我們通過兩個例子來回答。

例3 （文獻［5］中的例2.2）令S={e，f，g，h，z，a，b，c}，其乘法運算Cayley表如下：

#8226;efghzabc

eefghzabc

fffghzbbz

ggfghzcbc

hzzzhzzzz

zzzzzzzzz

azzzazzzz

bzzzbzzzz

czzzczzzz

由表中可看出，E(S)={e，f，g，h，z}為帶，S為擬恰當半群。由于fE(f)E(a+)a=f{f，g}ea={b，c}{b}={f，g}bh=E((fa)+)faE((fa)+)faE((fa)*)，由命題1知δ不是S上的同余，從而S既不是弱類型W半群也不是好擬恰當半群。

例4 令S={e，f，h，z，a}，其乘法運算Cayley表如下：

#8226;ahefz

azazzz

hzhzzz

eazefz

fazffz

zzzzzz

由表中可看出，E(S)={e，f，h，z}為帶，S上的L*-類分別為：{a，h}，{e}，{f}，{z}，S上的R*-類分別為：{a，f}，{e}，{h}，{z}。

而δ=μ=H*=ts，即S上的恒等關系，所以S是弱類型W半群。可以驗證S滿足弱類型A條件，因而S也是好擬恰當半群。易證S滿足IC條件，因而也是類型W半群。

結論2弱類型W半群和好擬恰當半群并非包含了所有的擬恰當半群，弱類型W半群和好擬恰當半群這兩類半群的交集非空。

文獻［2］告訴我們，類型W半群是弱類型W半群的真子集，而例4給出了一個既是弱類型W半群又是好擬恰當半群的類型W半群的例子。問題：既是弱類型W半群又是好擬恰當半群的一定是類型W半群嗎？下例告訴我們并非如此。

例5 令S={e，f，g，h，z，a}，其乘法運算Cayley表如下：

#8226;ahefgz

azazzzz

hzhzzzz

eazefgz

fazffgz

gazgfgz

zzzzzzz

由表中可看出，E(S)={e，f，g，h，z}為帶，S上的L*-類分別為：{a，h}，{e}，{f}，{g}，{z}，S上的R*-類分別為：{a，f，g}，{e}，{h}，{z}，S上的δ-類分別為：{a}，{f，g}，{e}，{h}，{z}而μ=H*=ts，即S上的恒等關系，易證δ是S上的同余，所以S是弱類型W半群。可以驗證S滿足弱類型A條件，因而S也是好擬恰當半群。注意到＜a+＞={f，g，z}，而＜a*＞{h，z}，＜a+＞之間不可能存在雙射，所以S不滿足IC條件，因而不是類型W半群。

綜上所述，類型半群、弱類型半群與好擬恰當半群這幾類擬恰當半群之間的關系用維恩圖表示如上圖。



參考文獻

［1］A. El——Qallali and J. B. Fountain，Quasi-adequate semigroups［J］，Proc. Roy. Soc. Edinburgh A，91 (1981) 91-99.

［2］A. El——Qallali，Quasi-adequate semigroups Ⅱ［J］，Semigroup Forum， Vol.44(1992)，273-282.［3］k. P. Shum，Du Aihua and Y. Q. Guo，Good quasi-adequate semigroups［J］.

［4］J. M. Howie，Fundamentals of semigroup theory［M］，Oxford University Press，1995.

［5］J. B. Fountain，Adequate semigroups［J］，Proc. Edinburgh Math. Soc.，22 (1979) 113-125.

［6］J. B. Fountain，Abandant semigroups［J］，Proc. London Math. Soc.，(3) 44 (1982)，103——129.