不等式證明的八種方法

【摘要】不等式證明是高中數學最為常見的題型之一，本文講述了其中8種方法。

【關鍵詞】中學；數學；教學方法

【中圖分類號】G632.479【文獻標識碼】B【文章編號】1005-1074(2008)06-0198-02

不等式證明是高中數學最為常見的題型之一，經常滲透在高考與競賽試題中，它既考查了等價轉換與化歸的數學思想，又體現了一定的做題技巧性，下面介紹不等式證明的幾種常見方法：

1比較法

例1，設a>0，b>0，求證： (a2b)12+(b2a)12≥a12+b12

解法一：（作差法）

(a2b)12+(b2a)12-a12-b12=ab+ba=-a-b

=(a-b)2(a+b)ab≥0

故 (a2b)12+(b2a)12≥a12+b12

解法二：（作商法）

因為左邊>0，右邊>0

所以 (a2b)12+(b2a)12a12+b12=ab+baa+b=(a+b)(a-ab+b)ab(a+b)

(a-ab+b)ab=(a-b)2+abab=(a-b)2ab+1≥1

所以 (a2b)12+(b2a)12≥a12+b12

小結：常見的變形手段是通分、因式分解、配方等，應注意的是作商比較只適用于兩個正數比較大小。

2綜合法

例2：a，b，c為互不相等的正數，且abc=1，求證：1a+1b+1c＞a+b+c

證明：因為abc=1，且a，b，c為互不相等的正數。

所以 1a+1b+1c=bc+ac+bc=bc+ac2+ac+ab2+ab+bc2＞bc×ac+ac×ab+ab×bc（基本不等式） =a+b+c

所以 1a+1b+1c＞a+b+c

小結：利用綜合法證明不等式時，注意基本不等式的應用及相應的技巧。

3分析法

例3：設a>0，b>0，2c>a+b，求證: c-c2-ab＜a＜c+c2-ab

證明：要證原不等式成立

只要證 -c2-ab＜a＜c+c2-ab成立

即證：a-c＜c2-ab

也就是證： (a-c)2＜c2-ab

也要證： a2-2ac＜-ab

即證： a2+ab＜2ac，因為a>0；

也就是證：a+b<2c，顯然成立

故原不等式 c-c2-ab＜a＜c+c2-ab成立

小結：分析法中“逆求”過程，能培養學生的發散思維能力，也是分析問題、解決問題時常用的思考方法。

4反證法

例4：實數a，b，c，d滿足a+b=c+d=1，ac+bd>1

求證：a，b，c，d中至少有一個為負數。

證明：假設a，b，c，d都為非負數，由a+b=c+d=1，a、b、c、d∈[0，1]

從而 ac≤ac≤a+c2，bd≤bd≤b+d2

所以 ac+bd≤a+b+c+d2=1

這與已知ac+bd>1矛盾

所以a，b，c，d中至少有一個為負數

小結：用反證法證明時，推出的矛盾可以是多種多樣的，有的與已知矛盾，有的與假設矛盾，有的與定理、公理矛盾，需要注意的是推出的矛盾必須是明顯的。

5換元法

例5：已知x，y∈R，且 x2+y2≤1，求證 x2+2xy-y2≤2

證明：設x=rcosθ，y=rsinθ，r≤1，則

x2+2xy-y2=r2cos2θ+2cosθsinθ-sin2θ

=r2cos2θ+sin2θ

=2r2sin(2θ+π4)≤2

小結：換元法中常用的有三角換元，利用正余弦函數的有界性進行證明。

6放縮法

例6：證明： 112+122+132+…+1n2＜2(n∈N*)

證明： k∈N*，2≤k≤n，有

1k2＜1k(k-1)=1k-1-1k

所以112+122+132+…+1n2＜1+[(11-12)+(12-13)+…+(1n-1-1n)]

=1+(1-1n)=2-1n＜2

所以原不等式成立

小結：利用放縮法證明不等式時，常用的放縮方法有增項，減項，利用分式性質、不等式性質等，但注意放縮時要適度。

7判別式法

例7：設a，b，c∈R，證明： a2+ac+b2+3b(a+b+c)≥0并指出等號何時成立。

證明：左邊整理成關于a二次式， f(a)=a2+(c+3b)a+c2+3b2+3bc

則△=(c+3b)2-4(c2+3b2+3bc)=3(b+c)2≤0

所以有：f(a)≥0成立，即原不等式成立。

當 △=0時等號成立，即b+c=0時，這時

f(a)=a2+ac+c2+3ab=a2+2ab+b2=(a+b)2=0

所以：a=-b=c時，等號成立。

8柯西不等式

(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2

其中：ai，bi∈R，i=1，2，…n，取等號的條件為： b1a1=b2a2=…=bnan

例8：已知a，b，c為正數，且a+b+c=1，求證： a2+b2+c2≥13

證明：因為： (12+12+12)(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1

所以： a2+b2+c2≥13

例9：已知a，b為正數，且a+b=1，求證： a+12+b+12≤2

證明：因為： (1×a+12+1×b+12)2≤(12+12)(a+12+b+12)且a+b=1

則： (a+12+b+12)2≤4

即：a+12+b+12≤2

小結：利用柯西不等式進行證明時，注意一定要配湊成公式中所需要的形式，然后再利用公式。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”