發(fā)散思維求解“距離”

【摘要】通過對典型例題解法的挖掘，培養(yǎng)學生全方位、多角度、多層面研究和分析問題的能力。逐步形成思維的敏捷性和發(fā)散性。

【關鍵詞】距離；方法；轉化

【中圖分類號】G632.479【文獻標識碼】B【文章編號】1005-1074(2008)07-0143-02

點到平面的距離是立體幾何的學習過程中一個基本問題，也是近幾年高考考查的熱點問題。本文對立體幾何中“距離”這一典型問題，結合課本中的概念、性質、習題，總結出解點到平面距離的幾種方法，以培養(yǎng)和啟迪學生形成發(fā)散思維的能力。

例：已知ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點，GC垂直于ABCD所在平面，且GC=2，求點B到平面EFG的距離。

分析：解決這個問題可以考慮運用幾何法或代數(shù)法。

1幾何法

1.1直接法首先作出所求的距離并求其長。

解法1：如圖1，為了作出點B到EFG的距離，延長FE交CB的延長線于M，連結GM，作BN⊥BC，交GM于N，則有BN∥CG，BN⊥平面ABCD，作BP⊥EM，交EM于P，易證平面BPN⊥平面EFG，作BQ⊥PN，垂足為Q，則BQ⊥平面EFG，于是BQ是點到平面EFG的距離，易知BN= 23BP=2，PN= BP2+BN2=223，由BQ·PN=PB·BN得

BQ= 21111

1.2間接法不直接作出所求的距離，通過距離轉化而間接求出。

1.2.1轉化為直線到平面的距離

解法2：如圖2所示，易證，BD∥平面EFG，所以BD上任意一點到平面EFG的距離即為所求。取BD中點O即對角線AC與BD的交點，設AC交EF于H，易證GHC⊥平面EFG，作OK⊥HG，K為垂足，則OK為所求，易得：OK= 21111

1.2.2利用斜線和平面所成的角轉化

如圖3，OP為平面α的一條斜線，A∈OP，OA=l，OP與α所成的角為θ，A到平面α的距離為d，則由斜線和平面所成的角的定義可知，d=lsinθ。

解法3：如圖4，設M為FE與CB延長線的交點，作BR⊥GM，R為垂足，又GM⊥EB，易得平面

BER⊥平面EFG，ER為它們的交線，所以∠REB就是EB與平面EFG所成的角θ.由 △MRB∽△MCG ，可得 BR=210， Rt△REB中，∠B=90°， BR=210，EB=2，所以

sinθ=BRER=1111

故所求距離 d=21111

1.2.3利用二面角的平面角轉化（課本55頁練習中第4題）

如圖5，二面角M-CD-N的大小為α，A∈M，

AB⊥CD，AB=a，點A到平面N的距離AO=d，則有d=a sinα①

解法4：

如圖6，過B作BP⊥EF，交FE的

延長線于P，易知BP= 2，這就是點B到二面角C-EF-G的棱EF的距離，連結AC交

EF于H，連結GH，易證∠GHC就是二面角C-EF-G的平面角，∵GC=2，AC= 42，AH= 2，

∴CH= 32，GH= 22，sin∠HGC= 222，于是由①得所求之距離d=BP·sin∠GHC= 2·222=21111，解略。

1.2.4利用等積法轉化

解法5：如圖7，設點B到平面EFG的距離為d，則三棱錐B-EFG的體積為 V=13S△EFG·d，另一方面又可得這個三棱錐的體積V=13S△FEB·CG，可求得 S△FEB=14S△DAB=2，S△EFG=211，∴ 13·211·d=13·2·2得d=21111

2代數(shù)法

由題設可知：CB、CD、CG相互垂直，由此可建立空間直角坐標系，用向量法坐標運算求解。

2.1利用四點共面求解

解法6：如圖8，CD、CB、CG為x、y、z軸建立坐標系C-xyz，則C（0，0，0）、B（0，4，0）、E（2，4，0）、F（4，2，0）、G（0，0，2），∴ BE=（2，2，0）、BF=（4，-2，0）、BG=（0，-4，2）、GE=（2，4，-2）、EF=（2，-2，0）(*)

設向量 BM⊥平面GEF，垂足是M，則M、G、E、F四點共面，故存在實數(shù)a、b、c，使 BM=aBE+bBF+cBG=(2a+4b，-2b-4c，2c)，由 BM⊥平面GEF，所以 BM·GE=0BM·EF=0

即：(2a+4b，-2b-4c，2c)·(2，4，-2)=0

(2a+4b，-2b-4c，2c)·(2，-2，0)=0

整理得：

a-5c=0

a+3b+2c=0

a+b+c=1

解之得a=511，b=-711，c=311

∴BM=(211，211，611)

BM =(211)2+(211)2+(611)2=21111

所以，點B到平面GEF的距離為 21111

2.2利用法向量求解解法7：(*)以上同解法6，設平面GEF的法向理為 n=(x，y，z)

則，n·EF=(x，y，z)·(2，-2，0)=0

n·GE= (x，y，z)·(2，4，-2)=0

整理得 x-y=0

x+2y-z=0x=1得y=1，z=3，∴ n=(1，1，3)

故B到平面GEF的距離d=n·BEN=211=21111

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”