Ｔａｙｌｏｒ定理的應(yīng)用

作者簡介：韋潔華（1979～），女，廣西貴港市人，廣州南洋理工職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部，助教，從事高等數(shù)學(xué)，線性代數(shù)，概率論等基礎(chǔ)課程的教學(xué)與研究。

【摘要】本文通過實(shí)例介紹Taylor定理在證明不等式、導(dǎo)數(shù)的中值估計(jì)、行列式的計(jì)算、定積分的近似計(jì)算及定積分計(jì)算、關(guān)于界的估計(jì)、函數(shù)方程、金融數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】Taylor定理；不等式；中值估計(jì)；行列式；定積分；界；函數(shù)方程；AaR；債券

【中圖分類號】O13【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】B【文章編號】1005-1074(2008)06-0127-02

Taylor定理：若f(n)(x)在[a， b]上連續(xù)，f(n+1)(x)在（a， b）內(nèi)存在，則x，x0∈[a， b]，ζ在x與x0之間，使得下式成立

f(x)=f(x0)+f'(x0)+Λ+1n!f(n)(x0)(x-x0)n+Rn(x)，（1）

其中Rn(x)=1(n+1)!f(n+1)(ζ)(x-x0)n+1為Lagrange余項(xiàng).

若f(x)在x0處有n階導(dǎo)數(shù)f(n)(x0)，則在x0鄰域內(nèi)Taylor公式（1）成立，其中

Rn(x)=0(x-x0)n（當(dāng)x→x0）為Peano余項(xiàng).

當(dāng)limn→∞Rn(x)=0時，可得f(x)的泰勒級數(shù).

本文所述Taylor定理泛指中值定理和泰勒級數(shù). Taylor定理建立了函數(shù)f(x)在一個區(qū)間上的增量與這個函數(shù)在區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的高階導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系。Lagrange中值定理為它的特例.基本上，一般的教科書都著重介紹將滿足條件的函數(shù)如何展開成泰勒級數(shù)，但對在在微積分中起著舉足輕重的作用的泰勒級數(shù)的應(yīng)用介紹得甚少，本文將介紹泰勒定理在以下幾方面的應(yīng)用。

1證明不等式

例1求證tanxx＞xsinx，x∈(0，π2)

證明：原式等價(jià)于f(x)=sinx·tanx-x2＞0，因f(0)=f'(0)=f''(0)=0.f'''(x)=sinx(5sec2x-1)+bsin3xsec4x＞0，

故f(x)＞0（當(dāng)x∈(0，π2)）原式獲證.

2導(dǎo)數(shù)的中值估計(jì)

例2設(shè)f(x)二次可微，f(0)=f(1)=0，max0≤x≤1f(x)=2，試證min0≤x≤1f''(x)≤-16

證明：因f(x)在[0，1]上連續(xù)，有最大最小值，又因max0≤x≤1f(x)=2，f(0)=f(1)=0，故最大值在（0，1）內(nèi)部達(dá)到，所以x0∈(0，1)使得

f(x0)=max0≤x≤1f(x)

于是f(x0)為極大值，由Fermat定理，有f'(x0)==0.

在x=x0處按Taylor公式展開，ζη∈(0，1)使得：

0=f(0)=f(x0)+12f''(ζ)(0-x0)2=2+12f''(ζ)x02

0=f(1)=f(x0)+12f''(η)(1-x0)2=2+12f''(η)(1-x0)2

因此，

min0≤x≤1f''(x)≤min{f''(ζ)，f''(η)}=min{-4x02，-4(1-x0)2}

而x0∈[12，1]時，min{-4x02，-4(1-x0)2}=-4(1-x0)2≤-16

x∈[0，12]時，min{-4x02，-4(1-x0)2}=-4x02≤-16

所以min0≤x≤1f''(x)≤-16

3行列式的計(jì)算

例3計(jì)算行列式D=xbbbΛb

axbbΛb

aaxbΛb

ΛΛΛΛΛΛ

aaaaΛx的值.

解：記D=fn(x)，將D按泰勒公式在a處展開：

fn(x)=fn(a)+f'n(a)1!(x-a)+f''n(a)2!(x-a)2+Λ+fn(n)(a)n!(x-a)n，

根據(jù)行列式的性質(zhì)，對于任何k∈N，有fk(a)=a(a-b)k-1，又根據(jù)行列式求導(dǎo)法則，有

f'n(x)=nfn-1(x)，fn-1'(x)=(n-1)fn-2(x)，Λ，f2(x)=2f1(x)，f'1(x)=1，

所以fn(x)在x=a處的各階導(dǎo)數(shù)為fn(k)(a)=n(n-1)Λ(n-k+1)a(a-b)n-k-1(k=1，2，Λ，n-1)fn(n)(a)=n(n-1)Λ2·1，從而

fn(x)=a(a-b)n-1+n1!a(a-b)n-2(x-a)+n(n-1)2!a(a-b)n-3(x-a)2+Λ+n(n-1)Λ2(n-1)!a(x-a)n-1+n(n-1)Λ2·1n!(x-a)n，

若a=b，則fn(x)=(x-b)n-1[x+(n-1)b];

若a≠b，則fn(x)=a(x-b)n-b(x-a)na-b

4定積分的近似計(jì)算及定積分計(jì)算

例4 ∫101n(1+x)xdx

解：原式=∫10x-x22+x33-Λxdx=∫10(1-x2+x23-Λ)dx=1-122+132-Λ=π212

例5求定積分∫10sinxxdx的近似值。

解：該被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù) ，故用牛頓—萊布尼茲公式是無法求出其精確解的，考慮sinx的泰勒展開，能方便的求出其近似數(shù).

sinx=x-x33!+x55!-sin(θx+7π27!x7，sinxx=1-x23!+x45!-sin(θx+7π27!x6

所以∫10sinxxdx=(x-x33×3!+x55×5!10-∫10sin(θx+7π27!x

6dx，

因?yàn)閟in(θx+7π2＜1，故∫10sinxxdx≈1-13!13+15!15≈0.9461，誤差R＜17!17＜0.5×10-3

5關(guān)于界的估計(jì)

例6設(shè)f(x)在[0，1]上有二階導(dǎo)數(shù)，0≤x≤1時f(x)≤1，f''(x)＜2，試證：當(dāng)0≤x≤1時，f'(x)≤3

證明：f(1)=f(x)+f'(x)(1-x)+12f''(ζ)(1-x)2

f(0)=f(x)+f'(x)(-x)+12f''(η)(-x)2

所以:f(1)-f(0)=f(x)+f'(x)+12f''(ζ)(1-x)2-12f''(η)x2

f'(x)≤f(1)+f(0)+12f''(ζ)(1-x)2+12f''(η)x2≤2+(1-x)2+x2≤2+1=3.

6函數(shù)方程中的應(yīng)用

例7設(shè)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)有連續(xù)三階導(dǎo)數(shù)，且滿足方程：

f(x+h)=f(x)+hf'(x+θh)，0＜θ＜1(θ和h無關(guān)).（1）

試證:f(x)是一次或二次函數(shù).

證：問題在于證明：f''(x)≡0或f'''(x)≡0.為此將（1）式對h求導(dǎo)，注意θ和h無關(guān)，我們有

f'(x+h)=f'(x+θh)+θhf''(x+θh)(2)

從而f'(x+h)-f'(x)-f'(x+θh)h=θf''(x+θh).令h→0取極限，得:f''(x)-θf''(x)=θf''(x)，f''(x)=2θf''(x).

若θ≠12，由此知f''(x)≡0，f(x)為一次函數(shù)；若θ=12，（2）式給出

f'(x+h)=f'(x+12h)+12hf''(x+12h

此式兩端同時對h求導(dǎo)，減去f''(x)，除以h，然后令h→0取極限，即得f'''(x)≡0，f(x)為二次函數(shù)。

7在金融數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

7.1在VaR計(jì)算中的應(yīng)用

VAR模型，自20世紀(jì)90年代被引入到風(fēng)險(xiǎn)管理中，已經(jīng)成為金融機(jī)構(gòu)和監(jiān)管當(dāng)局所廣泛采用的風(fēng)險(xiǎn)度量和管理工具。VaR 模型的常見計(jì)算方法有參數(shù)法、歷史模擬法和蒙特卡羅模擬法，其中的參數(shù)法就是由資產(chǎn)價(jià)值函數(shù)的泰勒展開來計(jì)算，并且依據(jù)函數(shù)展開階數(shù)的不同，分為delta類方法和gamma 類方法。考慮一個投資組合X=(x1，x2，Λ，xn)T其中Xi，i=1，2，Λ，n表示第i 種資產(chǎn)的投資權(quán)重，t 時刻所有資產(chǎn)的價(jià)值向量V=(v1，v2，Λ，vn)T，組合X的價(jià)值為V=∑ni=1xivi，在下一個時段Δt 內(nèi)，組合價(jià)值變動為ΔV = ∑ni=1xi△vi，假設(shè)每種資產(chǎn)價(jià)值都由K 個市場因子確定，且這K 個市場因子服從聯(lián)合正態(tài)分布， F=(f1，f2，Λ，fk)T，則ΔV 按照一階泰勒展開得

△v=∑ni=1xivi(F，t)t△v+∑ni=1xi∑kj=1vi(F，t)fj△fj

由此得出delta 參數(shù)法;若將投資組合的價(jià)值變動函數(shù)按照二階泰勒公式展開，則得gamma 參數(shù)法。

7.2在債券定價(jià)中的應(yīng)用在債券的定價(jià)及投資組合風(fēng)險(xiǎn)值的計(jì)算中，平均期限是一個重要的概念，它衡量基礎(chǔ)產(chǎn)品價(jià)格相對于基礎(chǔ)利率變化的幅度。一個20 年期的債券也許只有17 年的平均期限. 這意味著，如果利率上升2 % ，該債券價(jià)格將下跌34 %;而利率下跌1 %時，債券價(jià)格則上升17 %. 若每次用VaR模型來進(jìn)行計(jì)算，工作是十分煩瑣的. 舉例來說，現(xiàn)有一個5 年期的票面金額為100 美元的債券，年利息為10 美元. 計(jì)算當(dāng)利率從10 % 變化到11 % 或15 % 時，債券的價(jià)格變化. 如下表。

債券的價(jià)格變化

利率(r)10%11%15%利息（s）10$10$10$期限（t）5y5y5y貼現(xiàn)因子Dfn(1（1＋r）5)0.62090.5988 0.4972年金因子((1-Dfn)n) 3.7913.64733.3520零息票部分62.09$59.88$49.72$年金((1-Dfn)n×s) 37.91$36.47$33.52$債券價(jià)格100$99.36$83.24$麥考雷(Macaulay) 利用泰勒展開式的第一項(xiàng)求出該債券平均期限為3. 791. 用平均期限法預(yù)計(jì):利率從10 % 上升到11 % ，債券價(jià)格下跌3. 791 % ，即新價(jià)格為96. 21 美元;而利率從10 % 上升到15 % ，價(jià)格下跌18. 96 % ，債券價(jià)格變?yōu)?1. 05 美元. 因此當(dāng)利率變化不大時，平均期限法的預(yù)計(jì)相對準(zhǔn)確;但當(dāng)利率變化較大時誤差較大. 麥考雷用凸性及凸性的修正值重新估計(jì)， 得到了非常滿意的結(jié)果. 凸性(用γ表示) 表示的是泰勒展開式的第二項(xiàng)，再用12×γ×(Δr) 2 進(jìn)行調(diào)整(Δr 為利率變化) ，如表2。(該債券的凸性用泰勒公式易算為19. 37)。

我們發(fā)現(xiàn)與債券的實(shí)際價(jià)格非常接近;但極大地減少了工作量.麥考雷正是通過泰勒展開式求出了修正的平均期限和凸性值; 而布萊克(Black) 和斯科爾斯(Scholes) 利用它建立了著名的期權(quán)定價(jià)模型。

8參考文獻(xiàn)

1裴禮文 數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法 [M].北京:高等教育出版社，1993

2同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)(上冊) [M]. 北京:高等教育出版社，1987：260 - 263.

3華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 數(shù)學(xué)分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2002

4Cormac Butler. 風(fēng)險(xiǎn)值概論[M]. 上海:上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社，2002：137 - 153

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”