一種新的基于振動(dòng)濾波和各向異性擴(kuò)散的圖像增強(qiáng)和去噪算法

摘 要：結(jié)合振動(dòng)濾波和各向異性擴(kuò)散，提出了一種新的圖像增強(qiáng)和去噪方法。該方法將改進(jìn)的振動(dòng)濾波項(xiàng)引入增強(qiáng)和去噪方程，使其根據(jù)圖像結(jié)構(gòu)信息產(chǎn)生相應(yīng)變化幅度，使得圖像不僅具有很好的平滑效果，而且增強(qiáng)了邊緣，保留了盡可能多的細(xì)節(jié)部分，同時(shí)很大程度上縮短了計(jì)算時(shí)間，并給出了方程的離散形式。通過實(shí)驗(yàn)表明，該方法能達(dá)到較理想的增強(qiáng)和去噪效果。

關(guān)鍵詞：振動(dòng)濾波；各向異性擴(kuò)散；圖像增強(qiáng)；圖像去噪

中圖分類號(hào)：TP391．41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1001-3695(2008)08-2396-03

New algorithm for image enhancement and denoising

based on shock filters and anisotropic diffusion

CHEN Guan-nan1，2， YANG Kun-tao1， CHEN Rong2， XIE Zhi-ming2

(1.School of Opto-Electronic Science Engineering， Huazhong University of Science Technology， Wuhan 430074， China; 2.Key Laboratory of Opto-Electronic Science Technology for Medicine， Ministry of Education， Fujian Normal University， Fuzhou 350007， China)

Abstract:This paper presented a new scheme by the coupling between shock filters and anisotropic diffusion. It proposed a new improved shock filters term， which produced adaptive magnitude from image structural information， for the image enhancement and denoising. The method could not only well restrain noise but also enhance edge and keep much more details of an image， and the computed time of this algorithm was greatly shortened. It gave the form of discretization directly.Experimental results show that the effectiveness for image enhancement and denoising with the method is better.

Key words：shock filters; anisotropic diffusion; image enhancement; image denoising

圖像是人們獲取信息的一種主要手段，但圖像在生成和傳輸過程中受各種不利因素的影響，均可引起質(zhì)量退化，同時(shí)噪聲對圖像質(zhì)量也將產(chǎn)生嚴(yán)重影響，所以必須通過圖像增強(qiáng)突出圖像中的細(xì)節(jié)部分及通過圖像去噪消除噪聲。近年來，基于尺度空間和偏微分方程(PDE)的圖像處理方法在圖像去噪領(lǐng)域得到了廣泛的重視^[1，2]，因?yàn)樗谄交肼暤耐瑫r(shí)可以使邊緣得到保持，并可通過與振動(dòng)濾波^[3]相結(jié)合達(dá)到在去噪的過程中完成圖像增強(qiáng)。

在現(xiàn)有的方法^[4~6]中，圖像增強(qiáng)和去噪模型通過振動(dòng)濾波與非線性擴(kuò)散模型相結(jié)合，但兩個(gè)模型相對孤立，且主要是通過使用不同的擴(kuò)散模型，以及對兩種模型根據(jù)圖像信息分配不同的權(quán)重達(dá)到增強(qiáng)和去噪效果，以至產(chǎn)生處理時(shí)間較長，且振動(dòng)濾波效果不明顯等問題。本文通過使用圖像信息改進(jìn)振動(dòng)濾波模型部分，并使兩種模型更緊密結(jié)合，希望達(dá)到更理想的效果。

1 振動(dòng)濾波以及結(jié)合非線性擴(kuò)散模型增強(qiáng)與去噪

振動(dòng)濾波的方程為

I(xiàn)t=-|Ix|F(Ixx)（1）

其中:F滿足F(0)=0，F(xiàn)(s)sign(s)≥0。同時(shí)，上述方程和本文所有演化方程均滿足初始化條件I(xiàn)(x， 0) = I0(x)和諾埃曼邊界條件。取F(s)=sign(s)，得到經(jīng)典的振動(dòng)濾波方程為

I(xiàn)t=-sign(Ixx)|Ix|（2）

在2D情況下，振動(dòng)方程通常使用：

I(xiàn)t=-sign(I(xiàn)ηη）|I|（3）

其中:η是梯度方向。

在1D情況下，式（2）的離散形式為

I(xiàn)n+1i=Ini-Δt|DIni|sign(D2Ini)（4）

其中:DIni=m(Δ+Ini，Δ-Ini)/h，D2Ini=m(Δ+Δ-Ini)/h2，m(x，y)=(sign x)min(|x|，|y|) if xy＞0

0otherwise，Δ±=±(ui±1-ui)。同時(shí)1D情況下約束條件Δt≤ 0.5 h。振動(dòng)濾波的主要性質(zhì)為：a）在拐點(diǎn)(二階導(dǎo)數(shù)的過零點(diǎn)位置)發(fā)生振動(dòng)；b)局部極值點(diǎn)保持不變，沒有錯(cuò)誤的極值點(diǎn)產(chǎn)生，該方案稱為全變分保護(hù)(TVP); c)穩(wěn)定狀態(tài)的解是分段常數(shù); d)該進(jìn)程近似去卷積。經(jīng)典的振動(dòng)濾波不能去除噪聲，甚至對連續(xù)圖像域中的噪聲有放大的效果。解決這個(gè)問題的一般方法是用低通濾波器，如高斯函數(shù)，與信號(hào)的二階導(dǎo)數(shù)作卷積。

I(xiàn)t=-sign(GσIxx)|Ix|（5）

其中：Gσ是高斯函數(shù)。

這種方法不能完全克服噪聲問題，如果高斯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差σ選擇太小，則不能夠完全消除由噪聲產(chǎn)生的拐點(diǎn)；如果σ選擇太大則有可能使正常的圖像信息被同時(shí)消除，最終導(dǎo)致卷積的結(jié)果產(chǎn)生不該有的代價(jià)。

針對以上存在的事實(shí)，通常將其歸納成增強(qiáng)和降噪的問題，在光滑的區(qū)域進(jìn)行降噪處理，在邊緣區(qū)域進(jìn)行增強(qiáng)處理。現(xiàn)有的方法中主要通過在振動(dòng)濾波中增加各向異性擴(kuò)散項(xiàng)并分配振動(dòng)濾波項(xiàng)和各向異性擴(kuò)散項(xiàng)的權(quán)重來解決增強(qiáng)與降噪的問題。文獻(xiàn)[4]首先將振動(dòng)與擴(kuò)散相結(jié)合，得到下面方程

I(xiàn)t=-sign(Gσ*Iηη)|ΔI|+cIεε（6）

其中:c是一個(gè)正常數(shù)；ε是垂直于梯度I(xiàn)的方向，方程第二項(xiàng)是一個(gè)只沿著ε方向的擴(kuò)散去噪部分。

文獻(xiàn)[5]提出如下方程：

I(xiàn)t=-αe(1-hτ)sign(Gσ*Iηη)|I|+αr(hτIηη+Iεε)（7）

其中:如果|Gσ*I | < τ，則hτ = hτ (|Gσ*I|)=1；否則hτ＝0。方程第二項(xiàng)是一個(gè)沿著ε方向和η方向均相關(guān)的擴(kuò)散去噪部分，類似于各向異性擴(kuò)散。

文獻(xiàn)[6]提出如下方程：

I(xiàn)t=-(1-c)αsign(Gσ*Iηη)|I|+div(cI)（8）

其中:c=exp(-|Gσ*I|2/k )；k為梯度門限。方程第二項(xiàng)為P-M方程^[7]。而該方程是基于統(tǒng)計(jì)意義框架的。

2 新的振動(dòng)濾波和非線性擴(kuò)散結(jié)合模型

在前面提到的混合增強(qiáng)和去噪模型^[4~6]中，均保持振動(dòng)項(xiàng)不變，而只針對擴(kuò)散項(xiàng)進(jìn)行修改，以改善圖像增強(qiáng)和去噪的效果，但均需使用高斯函數(shù)與信號(hào)的二階導(dǎo)數(shù)作卷積，以至計(jì)算時(shí)間增長，同時(shí)振動(dòng)項(xiàng)僅使用符號(hào)函數(shù)與圖像信息關(guān)系結(jié)合不夠緊密，使得振動(dòng)效果不明顯。在本文中對振動(dòng)項(xiàng)進(jìn)行修改，使用反正切函數(shù)代替原方程，即取振動(dòng)方程F(s)＝arctan（－αs）。其中，參數(shù)α用于控制在零點(diǎn)附近斜率的銳度。修改后的方程變?yōu)?/p>

I(xiàn)t=arctan(-α Ixx)|Ix|+λIxx（9）

其中：λ是關(guān)于梯度的單調(diào)下降的正值函數(shù)。下面給出方程的解釋：

a）方程中不再使用線性平滑高斯核Gσ對振動(dòng)項(xiàng)進(jìn)行去噪，避免了每步迭代進(jìn)行圖像的卷積運(yùn)算，使得處理速度大大加快。

b） 第一項(xiàng)是邊緣提高項(xiàng)，第二項(xiàng)是異性擴(kuò)散項(xiàng)。當(dāng)I(xiàn)xx較小時(shí)，第一項(xiàng)占主導(dǎo)地位，即在二階導(dǎo)數(shù)的過零點(diǎn)位置以增強(qiáng)為主；當(dāng)I(xiàn)xx較大時(shí)第二項(xiàng)占主導(dǎo)地位，即以去噪為主。

c） 在I(xiàn)xx從0開始不斷增大的過程中，arctan（-α Ixx）表現(xiàn)出不同的取值效果。從反正切函數(shù)的曲線圖中可以看出，在I(xiàn)xx接近0的區(qū)域，即在二階導(dǎo)數(shù)的過零點(diǎn)位置，arctan（-α Ixx）的變化幅度相對較快，圖像增強(qiáng)的效果較為明顯，且I(xiàn)xx越接近0，變化幅度越快；當(dāng)I(xiàn)xx比較大時(shí)，即在光滑區(qū)域，arctan（-α Ixx）的變化幅度相對較慢。從而使得在邊緣區(qū)域銳化速度比在光滑區(qū)域速度快。而在前面提到的幾種混合模型中均是通過加入相應(yīng)的控制參數(shù)來完成這一過程，無法針對不同情況加快邊緣區(qū)域銳化速度，而本文方法中則通過使用反正切函數(shù)，讓函數(shù)在越接近邊緣區(qū)域處取得越大的振動(dòng)幅度，效果較為顯著。

通過使用改進(jìn)的方程加快了處理速度，對于圖像中拐點(diǎn)附近的將具有更理想的增強(qiáng)幅度。在邊緣區(qū)域，即在二階導(dǎo)數(shù)的過零點(diǎn)位置具有較大的變化幅度；而非邊緣區(qū)域，變化幅度小，甚至沒有。使得邊緣區(qū)域銳化的速度相對于平滑的區(qū)域更快，達(dá)到圖像增強(qiáng)的效果。

將方程推廣到二維的形式：

本文提出的方程還能很好地與現(xiàn)有的線性或非線性濾波方法相結(jié)合，如與均值濾波、中值濾波、混合擴(kuò)散濾波^[7]相結(jié)合以達(dá)到更好的效果。下面給出本文方程與中值濾波相結(jié)合后方程的二維形式。

I(xiàn)t=arctan[-α median(I(xiàn)ηη)]|I|+λIηη+Iεε（12）

其中：median（I(xiàn)ηη）表示對I(xiàn)ηη進(jìn)行中值濾波。

以上結(jié)合方程能夠針對不同應(yīng)用中不同的圖像噪聲類型進(jìn)行去噪。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證本文提供的方法在圖像增強(qiáng)和去噪中的效果，本文選用加入不同方差高斯白噪聲與椒鹽噪聲的合成圖像和腦部MR圖像進(jìn)行增強(qiáng)和去噪，分別使用原始振動(dòng)模型，L. Alvarez方法模型和本文方法對噪聲圖像進(jìn)行處理，并對結(jié)果進(jìn)行比較。

圖1給出幾種方法在迭代次數(shù)為100次時(shí)，對方差為15的高斯白噪聲與適量椒鹽噪聲的合成圖像增強(qiáng)和去噪結(jié)果。從圖中可明顯看出，振動(dòng)濾波方程對圖像增強(qiáng)的同時(shí)對噪聲信號(hào)產(chǎn)生了放大，L. Alvarez方法增強(qiáng)和去噪有一定效果，但是在噪聲較大時(shí)，不能很好地保持原有圖像的結(jié)構(gòu)，而本文中的方法與前面兩種方法相比得到較好的效果，比較完整地保持原有圖像的結(jié)構(gòu)，僅在尖角處丟失部分信息。

圖2給出幾種方法在醫(yī)學(xué)圖像中的增強(qiáng)和去噪結(jié)果。其中圖像噪聲選用方差為15的高斯白噪聲，迭代次數(shù)均為15次。從圖中能比較明顯地看出，本文方法的處理效果明顯好于前兩種方法，不但增強(qiáng)圖像去除噪聲，也保持了更多圖像細(xì)節(jié)。

本文同時(shí)使用峰值信噪比(PSNR) 作為增強(qiáng)和去噪效果測度指標(biāo)。PSNR反映的是圖像信噪比變化情況的統(tǒng)計(jì)平均，它是目前廣泛應(yīng)用的衡量圖像主觀質(zhì)量的方法，PSNR越大，圖像質(zhì)量越好；反之，圖像質(zhì)量越差。從表1和2可以看出，采用本算法得到的效果優(yōu)于其他方法。同時(shí)本文還給出了合成圖像中各種算法的計(jì)算時(shí)間。從表1可看出本文方法所用時(shí)間小于L. Alvarez方法，主要是因?yàn)椴辉偈褂镁€性平滑高斯核Gσ在每個(gè)迭代過程中對振動(dòng)項(xiàng)進(jìn)行去噪。

表1 合成圖像增強(qiáng)和去噪效果測度指標(biāo)對比高斯

白噪聲方差參數(shù)方法原始振動(dòng)濾波L. Alvarez方法本文方法方差＝15PSNR13.991 217.502 729.301 6time2.526 535.555 03.330 2方差＝25PSNR12.935 015.572 728.424 3time2.598 235.542 43.369 6表2 腦部MR圖像增強(qiáng)和去噪效果測度指標(biāo)對比高斯

白噪聲方差參數(shù)方法原始振動(dòng)濾波L. Alvarez方法本文方法方差＝15PSNR21.496 722.700 227.831 9方差＝25PSNR18.015 820.846 926.170 54 結(jié)束語

本文從現(xiàn)有的振動(dòng)濾波與非線性擴(kuò)散相結(jié)合模型出發(fā)，分析了它們實(shí)現(xiàn)圖像增強(qiáng)和去噪的原理，討論了它們存在的問題。在此基礎(chǔ)上針對振動(dòng)濾波模型項(xiàng)進(jìn)行修改，提出新的振動(dòng)濾波和非線性擴(kuò)散緊密結(jié)合的模型，并給出相應(yīng)的數(shù)值解法，以及提供了與其他經(jīng)典模型相結(jié)合的模型。

新的振動(dòng)濾波與非線性擴(kuò)散結(jié)合模型不僅具有很好的平滑效果，而且增強(qiáng)了邊緣，保留了盡可能多的細(xì)節(jié)部分，較大程度上降低了計(jì)算時(shí)間，很好地完成了圖像增強(qiáng)以及去噪的工作，有利于圖像后續(xù)處理。通過對比實(shí)驗(yàn)看出，本文方法在圖像增強(qiáng)和去噪的主觀和客觀效果優(yōu)于傳統(tǒng)方法，處理時(shí)間上也比傳統(tǒng)方法有很大程度的縮短，從而達(dá)到了較理想的效果。

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