柳暗花明又一村

　　同樣的教學(xué)內(nèi)容，同樣使用了信息技術(shù)，不一樣的上法，不一樣的效果。在本文中，王老師將兩節(jié)課按教學(xué)環(huán)節(jié)作對(duì)比展示，并進(jìn)行了精彩的點(diǎn)評(píng)。
　　王鵬遠(yuǎn)，北大附中數(shù)學(xué)高級(jí)教師，北京市海淀區(qū)數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人。郵箱：wangpy01@163.Com
　　讀者若有問(wèn)題，或者希望能看到哪方面的文章，可與本欄目編輯聯(lián)系。欄目編輯QQ：540607710
　　
　　問(wèn)題的提出
　　
　　當(dāng)前，信息技術(shù)與學(xué)科整合的有效性越來(lái)越引起人們的關(guān)注。一來(lái)，教師準(zhǔn)備這種課需要投入太多的時(shí)間和精力；二來(lái)，有些整合課的課堂教學(xué)質(zhì)量也受到廣泛的質(zhì)疑。有人認(rèn)為，如果教師花費(fèi)了大量的時(shí)間和精力，教學(xué)效果反而不如不使用技術(shù)好，那真是得不償失，又何必非要大力地宣傳和推廣信息技術(shù)與學(xué)科教學(xué)的整合呢？這個(gè)問(wèn)題促使我們認(rèn)真思考：當(dāng)前信息技術(shù)與學(xué)科整合有沒(méi)有誤區(qū)？如果有，誤區(qū)是什么？如何建立信息技術(shù)與學(xué)科整合的理論？怎樣才能把信息技術(shù)有效地整合到日常的教學(xué)活動(dòng)中去？本文試圖從兩個(gè)具體教學(xué)案例的對(duì)比分析說(shuō)開(kāi)去，談?wù)剬?duì)這些問(wèn)題的一些想法。本文拋磚引玉，期待更多的學(xué)科教師加入到討論中來(lái)。
　　兩個(gè)教學(xué)案例的概述與分析
　　筆者有機(jī)會(huì)看到某出版社發(fā)行的一個(gè)封面標(biāo)名為“信息技術(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)有效整合的典型案例——臺(tái)球桌面上的角”的教學(xué)光盤(pán)（包括課堂實(shí)錄和專(zhuān)家課后點(diǎn)評(píng)），又有機(jī)會(huì)聽(tīng)了一節(jié)與此內(nèi)容相似的課。兩節(jié)課教授的是同一內(nèi)容：初中一年級(jí)教材中的余角，又都在課堂教學(xué)中使用了信息技術(shù)，這就給我們提供了一個(gè)很好的研討素材。為了敘述的方便，下稱(chēng)前者為案例1，后者為案例2，圍繞案例中的各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，逐個(gè)展開(kāi)討論。
　　1.引入
　　案例1：在開(kāi)始的1分06秒，教師用PPT呈現(xiàn)了7個(gè)畫(huà)面：“綿延起伏的山峰”、“縱橫交錯(cuò)的立交橋”（圖1）、“飛流直下的瀑布”、“長(zhǎng)江二橋”、“橫跨長(zhǎng)江的彩虹”、“剪刀”和“窗欞”，說(shuō)明我們周?chē)N(yùn)藏大量的相交線和平行線。
　　隨后，又展示了臺(tái)球運(yùn)動(dòng)員丁俊輝打臺(tái)球的畫(huà)面，呈現(xiàn)一個(gè)臺(tái)球入網(wǎng)的動(dòng)畫(huà)，定格在圖2。其間，教師問(wèn)學(xué)
　　
　　生：“你們打過(guò)臺(tái)球嗎？”“你們知道打臺(tái)球最重要的技巧是什么？”然后對(duì)照?qǐng)D說(shuō)明：“要想確保臺(tái)球碰到桌面邊緣反彈后入洞最重要的技巧是滿足條件∠1=∠2。”之后，屏幕上動(dòng)態(tài)地呈現(xiàn)出沿臺(tái)球桌邊的一條紅線和垂直于這條紅線的直線以及圖中的∠3和∠4。教師提問(wèn)：“∠1和∠3有什么關(guān)系？”學(xué)生回答：“∠1和∠3是互余角。”由此引入本課課題：“這里出現(xiàn)了兩個(gè)角的和等于90度的情況，這就是我們今天要研究的問(wèn)題。”
　　案例2：教師用PPT呈現(xiàn)了比薩斜塔的畫(huà)面（圖3），提問(wèn)學(xué)生：“如果斜塔一側(cè)的墻面與地面的夾角是85°，你能求出墻面的另一側(cè)與豎直方向偏離了多少嗎？”隨后，隱藏掉比薩斜塔的畫(huà)面只留下圖4的畫(huà)面，問(wèn)學(xué)生：“這個(gè)問(wèn)題化成數(shù)學(xué)問(wèn)題就是要研究圖中∠1和∠2的關(guān)系，誰(shuí)能說(shuō)出這兩個(gè)角的關(guān)系？”學(xué)生回答：“這兩個(gè)角的和是直角。”教師：“這種情況其實(shí)在我們身邊就有。”教師拿出一張紙片，用剪刀從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)剪成兩部分給學(xué)生看。教師出示三角板，讓學(xué)生對(duì)照自己文具盒中的三角尺，找出和為直角的兩個(gè)角，由此引入課題：“這就是我們今天要研究的互余的角。”
　　
　　
　　案例分析
　　導(dǎo)入是在課堂教學(xué)活動(dòng)開(kāi)始的教學(xué)行為方式，是教學(xué)活動(dòng)的重要環(huán)節(jié)。精彩的導(dǎo)入可以為整節(jié)課的教學(xué)打下良好的基礎(chǔ)，一開(kāi)場(chǎng)就抓住人心。好的導(dǎo)入應(yīng)該圍繞主題，又有新意，簡(jiǎn)潔明快。
　　比較這兩個(gè)案例。案例1在開(kāi)始的1分06秒呈現(xiàn)的7個(gè)畫(huà)面不僅不夠清晰，而且有科學(xué)性錯(cuò)誤。實(shí)際上， 綿延起伏的山峰、縱橫交錯(cuò)的立交橋、飛流直下的瀑布既不是相交線也不是平行線。接下來(lái)的丁俊輝打臺(tái)球的畫(huà)面及模擬臺(tái)球運(yùn)動(dòng)的動(dòng)畫(huà)與本節(jié)要討論的余角概念的聯(lián)系也并不緊密。
　　案例2則巧妙地設(shè)置了一個(gè)問(wèn)題情境，促使學(xué)生思考：“斜塔一側(cè)的墻面與地面的夾角是85°，墻面的另一側(cè)與豎直方向偏離了多少？”自然引起了學(xué)生對(duì)兩個(gè)有這樣特定關(guān)系的角的關(guān)注，研究余角的必要性也隱含其中了。
　　2.余角概念的呈現(xiàn)
　　案例1：教師在引入課題后，用PPT呈現(xiàn)互為余角的概念(圖5)，然后讓學(xué)生對(duì)照屏幕齊聲朗讀。教師隨后問(wèn)：“請(qǐng)同學(xué)思考一下，‘如果兩個(gè)角的和是直角’指的是幾個(gè)角的關(guān)系？是數(shù)量關(guān)系還是位置關(guān)系？”在學(xué)生齊答后，教師進(jìn)一步問(wèn)：“我這里有一個(gè)角是30°，還有一個(gè)角是30°，還有一個(gè)角是30°，能說(shuō)這三個(gè)角互余嗎？”學(xué)生回答：“不能。因?yàn)榛ビ嗍侵竷蓚€(gè)角的關(guān)系。”教師肯定后，繼續(xù)邊作手勢(shì)邊提問(wèn)：“如果我這里有一個(gè)角是30°，那里有一個(gè)角是60°，它們互余嗎？為什么？”進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)兩個(gè)角是否互余和它們的位置無(wú)關(guān)。
　　
　　案例2：教師讓學(xué)生結(jié)合引入環(huán)節(jié)的實(shí)例說(shuō)出什么叫兩個(gè)角互為余角，然后板書(shū)互為余角的概念，學(xué)生則在筆記本上記筆記。教師問(wèn)：“請(qǐng)同學(xué)思考這樣一個(gè)問(wèn)題，余角是直角嗎？”在學(xué)生討論的基礎(chǔ)上，教師指出，直角說(shuō)的是一個(gè)角，而互余是指兩個(gè)角的關(guān)系：它們的和為直角，當(dāng)兩個(gè)角存在互余的關(guān)系時(shí)，其中一個(gè)角是另外一個(gè)角的余角。例如30°角是60°角的余角，反過(guò)來(lái)，60°角也是30°角的余角。單說(shuō)某一個(gè)角是余角是沒(méi)有意義的。
　　案例分析
　　兩個(gè)案例概念呈現(xiàn)前的鋪墊，概念的呈現(xiàn)方式以及概念呈現(xiàn)后教師引導(dǎo)學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)都有所不同。
　　案例1在概念呈現(xiàn)前的鋪墊是PPT呈現(xiàn)的臺(tái)球桌面上的∠1和∠3， ∠2與∠4(圖2)，案例2除了PPT呈現(xiàn)的比薩斜塔以及由此抽象出來(lái)的∠1和∠2的畫(huà)面(圖3，4)外，還有教師通過(guò)剪紙得到的互余的兩個(gè)角、教師手里的三角板、學(xué)生手里的三角尺中的一對(duì)角30°和60°，45°和45°。案例2在余角概念正式呈現(xiàn)之前給學(xué)生的感性材料更為豐富具體。
　　案例1是用PPT呈現(xiàn)了余角的概念，然后讓學(xué)生對(duì)照PPT齊聲朗讀， 案例2則是讓學(xué)生根據(jù)前面提供的材料說(shuō)出余角的概念，然后教師在黑板上板書(shū)，學(xué)生記筆記。兩者比較起來(lái)后者學(xué)生活動(dòng)得更充分一些。用PPT代替板書(shū)效果不一定好。
　　概念呈現(xiàn)后，案例1中教師強(qiáng)調(diào)了兩點(diǎn)，一是余角是兩個(gè)角的和是90°，而不是指三個(gè)角的和；余角是兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系而不是位置關(guān)系。案例2中教師則引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注直角的概念與余角概念的區(qū)別與聯(lián)系。從多年的教學(xué)實(shí)踐看，案例2抓住了學(xué)生初學(xué)時(shí)容易混淆的概念。
　　3.余角概念的深入理解與練習(xí)
　　案例1 (包括四個(gè)環(huán)節(jié))：
　　⑴師生問(wèn)答：如果∠1是45°，那么，它的余角∠2是幾度？(45°)換一個(gè)更難的問(wèn)題，如果∠A是x°，它的余角是多少度？(90°-x°)
　　⑵教師提問(wèn)：“如果一個(gè)角的余角比它本身大30°，這個(gè)角是多大？”并請(qǐng)一位學(xué)生回答，教師根據(jù)回答在黑板上列方程并解方程。之后，教師小結(jié)：“雖然說(shuō)起來(lái)是幾何題目，但是代數(shù)里面的方程思想還是完全可以用得上的，這是一個(gè)很好的方法，請(qǐng)同學(xué)們平時(shí)注意使用。”
　　⑶教師提問(wèn)：“請(qǐng)大家想想看，如果我這里有一個(gè)角是30°，這里有一個(gè)角和它相等，那么這兩個(gè)角的余角的大小關(guān)系怎樣？”學(xué)生回答：“相等。”教師用一句話總結(jié)：“同角或等角的余角相等。”同時(shí)在PPT上顯示出這段文字。
　　⑷教師拿出一張長(zhǎng)方形的紙?zhí)岢鰡?wèn)題：“能否通過(guò)折紙得到互余的角？”學(xué)生進(jìn)行折紙，然后舉手，教師指定一位向全班學(xué)生演示折紙的結(jié)果。教師點(diǎn)評(píng)。
　　案例2(包括四個(gè)環(huán)節(jié))：
　　
　　⑴找朋友的練習(xí)。教師提問(wèn)：“兩個(gè)角互余是指的它們之間的一種關(guān)系，正像兩個(gè)朋友關(guān)系一樣，現(xiàn)在我們做一個(gè)找“朋友”的練習(xí)。具體做法是，我說(shuō)出一個(gè)角，請(qǐng)你馬上說(shuō)出它的‘朋友’余角來(lái)，看誰(shuí)找得快。”隨后，教師說(shuō)出幾個(gè)角：20°，30°，36°，54°，72°，18°，x°，讓7個(gè)同學(xué)說(shuō)出它們的余角，并板書(shū)∠A的余角為90°－∠A。
　　⑵用三角板畫(huà)出一個(gè)已知角的余角。教師讓全班學(xué)生在紙上畫(huà)出一個(gè)已知角，然后畫(huà)出它的余角。
　　
　　⑶訂正答案。教師先用計(jì)算機(jī)現(xiàn)場(chǎng)畫(huà)圖，作BD⊥BC (圖6)。 然后，解釋說(shuō)：“∠ABC是已知角，有的同學(xué)是這么做的，作BD⊥BC，得到∠ABD。顯然，這是∠ABC的余角。請(qǐng)想一想還有沒(méi)有別的畫(huà)法？”隨后，教師根據(jù)學(xué)生的回答，現(xiàn)場(chǎng)作BE⊥BA。接著，教師用鼠標(biāo)選擇點(diǎn)A，拖動(dòng)改變∠ABC的大小，請(qǐng)學(xué)生觀察∠ABD和∠EBC的關(guān)系，把觀察到的結(jié)果敘述出來(lái)，并解釋得到這個(gè)結(jié)果的理由。學(xué)生回答：“∠ABD=∠EBC，因?yàn)樗鼈兌际恰螦BC的余角，因此都等于90°－∠ABC。這個(gè)結(jié)果可以敘述為同一個(gè)角的余角相等。”教師肯定學(xué)生的回答，并把“同角或等角的余角相等”寫(xiě)在黑板上。
　　⑷討論下面的題目。
　　教師現(xiàn)場(chǎng)畫(huà)圖7，標(biāo)識(shí)出直角，用鼠標(biāo)選擇點(diǎn)C拖動(dòng)，保持圖中的垂直關(guān)系不變，提問(wèn)：“圖中有沒(méi)有互余的兩個(gè)角？你怎么知道它們之間是互余關(guān)系？”然后，在上圖的基礎(chǔ)上作兩條AB的垂線（如圖8），讓學(xué)生指出其中互余的角和相等的角，并說(shuō)明理由。
　　
　　案例分析
　　在這一環(huán)節(jié)，著重對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的價(jià)值和技術(shù)在其中起的作用進(jìn)行分析。作為幾何課當(dāng)然應(yīng)該關(guān)注學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，提高作圖能力、對(duì)圖形的洞察力、數(shù)學(xué)表達(dá)能力和初步的邏輯推理能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。這是我們?cè)O(shè)計(jì)課堂數(shù)學(xué)活動(dòng)應(yīng)該考慮的。
　　案例1在這個(gè)環(huán)節(jié)中設(shè)置的前兩個(gè)問(wèn)題都是關(guān)于互為余角的計(jì)算，對(duì)于從圖形本身加深對(duì)余角的深入理解似乎顯得不夠。問(wèn)題3從一個(gè)特例就得出等角或同角的余角相等，數(shù)學(xué)推理過(guò)程被削弱了。而第四個(gè)活動(dòng)——通過(guò)折紙得出互余的角，沒(méi)有多大的思維價(jià)值。
　　
　　案例2設(shè)計(jì)的第一個(gè)問(wèn)題涉及的也是關(guān)于互為余角的計(jì)算，因?yàn)橐髮W(xué)生快速回答，有利于學(xué)生強(qiáng)化余角概念的理解。第二個(gè)題目是作圖題，讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作深化對(duì)余角概念的理解，又為同角的余角相等提供了發(fā)現(xiàn)的素材。教師用計(jì)算機(jī)畫(huà)圖訂正答案時(shí)，利用鼠標(biāo)改變∠ABC的大小，動(dòng)態(tài)圖形中的不變關(guān)系揭示了“同角的余角相等”這一事實(shí)，比靜態(tài)圖形更有啟發(fā)性。而要解決最后一個(gè)問(wèn)題，光憑觀察就不夠了，還需要簡(jiǎn)單的邏輯推理。在圖7基礎(chǔ)上發(fā)展出的圖8，對(duì)于提高學(xué)生對(duì)圖形的洞察能力、分析能力、數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力和邏輯推理能力是非常有益的。
　　
　　兩個(gè)案例留給人們的思考
　　
　　在分析了兩個(gè)教學(xué)案例之后，引發(fā)我們?nèi)フJ(rèn)真思考如何把信息技術(shù)有效整合到學(xué)科教學(xué)活動(dòng)中的問(wèn)題。
　　1.關(guān)于教學(xué)設(shè)計(jì)的理念——學(xué)科本位還是技術(shù)本位
　　影響課堂教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵是教學(xué)設(shè)計(jì)的理念，是從具體的學(xué)科教學(xué)需求出發(fā)還是從一般的信息技術(shù)理念出發(fā)設(shè)計(jì)教學(xué)？或者說(shuō)是學(xué)科本位還是技術(shù)本位？這是當(dāng)前需要正視的問(wèn)題。
　　看來(lái)，案例1似乎更多地傾向后者。這可以由案例1課后的專(zhuān)家點(diǎn)評(píng)看出這一點(diǎn)。專(zhuān)家是這樣肯定案例1的： 利用媒體讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、推理、交流等過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展了空間觀念推理能力和表達(dá)能力。在具體課件提供的情境中了解余角的概念，并用于解決實(shí)際問(wèn)題。
　　由此可以看出媒體、課件是專(zhuān)家關(guān)注的重點(diǎn)。或許也正是基于這點(diǎn)，案例1在本節(jié)課中大量圍繞著PPT進(jìn)行設(shè)計(jì)，如引入環(huán)節(jié)的7個(gè)畫(huà)面，呈現(xiàn)余角、補(bǔ)角的概念，甚至課堂練習(xí)題目……
　　從數(shù)學(xué)學(xué)科出發(fā)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)則是首先確定本節(jié)課的學(xué)科教學(xué)目標(biāo)，然后圍繞這個(gè)教學(xué)目標(biāo)出發(fā)，全面地考慮情境的創(chuàng)設(shè)、概念的引入、概念的呈現(xiàn)方式、概念內(nèi)涵的挖掘、問(wèn)題的設(shè)計(jì)、例題與練習(xí)的編配與處理、課堂學(xué)生活動(dòng)的設(shè)計(jì)與組織、技術(shù)的恰當(dāng)使用，等等。 技術(shù)的使用不過(guò)是整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)中的一部分，媒體和課件無(wú)非是實(shí)現(xiàn)學(xué)科教學(xué)目標(biāo)的工具而已，該用的時(shí)候才用。技術(shù)應(yīng)該是自然而然地融入教學(xué)之中的。其實(shí)，學(xué)生手里的三角板最直接不過(guò)地給出了互為余角的實(shí)例，而不一定事事都依賴(lài)于課件提供的情境。從案例1看出，過(guò)分依賴(lài)PPT，教師上幾何課連三角板都廢棄了，用手勢(shì)比劃30°和60°; 學(xué)生動(dòng)手記筆記與作圖操作的練習(xí)不見(jiàn)了，數(shù)學(xué)思維活動(dòng)不如案例2深入。
　　綜上，我們認(rèn)為，信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的有效整合課應(yīng)該是應(yīng)用信息技術(shù)有效地促成數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的數(shù)學(xué)課，技術(shù)應(yīng)該呈現(xiàn)用傳統(tǒng)手段難以呈現(xiàn)的內(nèi)容，應(yīng)該和傳統(tǒng)教學(xué)手段相配合，有利于啟發(fā)學(xué)生積極的數(shù)學(xué)思考而不是削弱這種思考。
　　2.技術(shù)與教師的關(guān)系——誰(shuí)是影響課堂教學(xué)質(zhì)量的決定因素
　　這兩個(gè)案例促使我們?cè)俅嗡伎技夹g(shù)與教師的關(guān)系。有了信息技術(shù)這樣一個(gè)強(qiáng)有力的工具支持，教師的教學(xué)無(wú)疑有了新幫手。工具多了，環(huán)境變了，教師必須考慮在新的教學(xué)環(huán)境下如何創(chuàng)設(shè)更加生動(dòng)活潑的激活學(xué)生積極思維的數(shù)學(xué)課堂。然而，面對(duì)信息技術(shù)支持的教學(xué)環(huán)境，許多教師卻找不到感覺(jué)了。這個(gè)新幫手不僅沒(méi)有給他們帶來(lái)方便，反而加重了負(fù)擔(dān)，準(zhǔn)備一節(jié)整合課付出的時(shí)間和精力是過(guò)去的好幾倍，而且有時(shí)這個(gè)幫手還在幫倒忙!那么，面對(duì)新的教學(xué)環(huán)境，教師應(yīng)該如何分配自己的精力呢？
　　從這兩個(gè)案例看，教師還是應(yīng)該把精力優(yōu)先放在對(duì)學(xué)科教學(xué)的把握上。首先，要深入研究教材。譬如，余角概念的提出，它與前后知識(shí)的關(guān)聯(lián)，如何通過(guò)這節(jié)課的教學(xué)活動(dòng)發(fā)展學(xué)生的空間觀念，如何提高學(xué)生的歸納概括能力、文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換能力、對(duì)于幾何圖形的洞察能力、作圖能力、初步的邏輯推理能力，然后再考慮挖掘技術(shù)的潛力，恰當(dāng)?shù)厥褂眉夹g(shù)。其次，要深入研究學(xué)生。譬如，學(xué)生學(xué)習(xí)這段內(nèi)容可能遇到什么困難，容易出現(xiàn)哪些錯(cuò)誤，如何貫穿啟發(fā)式教學(xué)等等。在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直角，而余角的概念涉及了兩個(gè)角的和是直角，所以，從學(xué)生認(rèn)知發(fā)展看，需要解決的是分清單一的直角和互余兩角的關(guān)系兩者的區(qū)別，而不是分清“兩個(gè)角的和”與“三個(gè)角的和”的區(qū)別。建立互為余角的概念應(yīng)該有豐富的圖形支撐，而不是滿足于對(duì)余角概念的字面的分析上。提供豐富的圖形(如圖6，7，8)不僅可以幫助學(xué)生深入理解本節(jié)課的基礎(chǔ)知識(shí)，還為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊。
　　由此看來(lái)，無(wú)論技術(shù)怎樣發(fā)展，教師還是影響課堂教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵因素。教師的工作還是要研究學(xué)科教學(xué)內(nèi)容，研究教材，研究學(xué)生，研究教法。所不同的是需要在信息技術(shù)支撐的環(huán)境中重新審視技術(shù)對(duì)教學(xué)內(nèi)容、呈現(xiàn)方式、教學(xué)觀念、教學(xué)方法的影響，挖掘技術(shù)的潛力，力求教學(xué)的最優(yōu)化。
　　3.普適通用的技術(shù)與智能教育平臺(tái)——數(shù)學(xué)教學(xué)需要怎樣的技術(shù)
　　我們思考的另一個(gè)問(wèn)題是在本節(jié)課中信息技術(shù)使用的教學(xué)價(jià)值。筆者以為，有兩處值得一提。一是余角概念的引入環(huán)節(jié)，由比薩斜塔的畫(huà)面轉(zhuǎn)換到隱去斜塔只留下已知85°的角和要求的角，之后通過(guò)動(dòng)畫(huà)將兩個(gè)角平移顯示出它們的和為直角，這個(gè)場(chǎng)景生動(dòng)地反映了從一個(gè)實(shí)際問(wèn)題抽象成一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程。再一個(gè)是動(dòng)態(tài)幾何技術(shù)的運(yùn)用。通過(guò)動(dòng)態(tài)圖形中的不變關(guān)系反映出一個(gè)幾