華羅庚的退步解題法

王克峰

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生非常注意栽培年輕一代，讓青年數(shù)學(xué)家快速成長，使他們脫穎而出，工作之余還不忘給青年朋友寫一些科普讀物（華羅庚先生曾為本刊創(chuàng)刊號(hào)寫過《熟能生巧勤能補(bǔ)拙》一文——編者注）.下面就是華羅庚曾經(jīng)介紹給中學(xué)生的一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)游戲.

有位老師，想看看他的3個(gè)學(xué)生中誰最聰明.他采用了下面的方法：事先準(zhǔn)備好3頂白帽子，2頂黑帽子，讓他們看到.然后，讓他們閉上眼睛，分別給他們戴上一頂帽子，藏起剩下的2頂帽子.最后，讓他們睜開眼，看著別人的帽子，說出自己所戴帽子的顏色.他們自己看不到自己所戴的帽子.3個(gè)學(xué)生互相看了看，都思考了一會(huì)兒，異口同聲地說出自己戴的是白帽子.想想看，他們是怎么知道帽子顏色的呢？

我們先考慮“2人1頂黑帽，2頂白帽”的情況.因?yàn)椋诿敝挥?頂，“我”戴了，對方立刻會(huì)說自己戴的是白帽.但他思考了一會(huì)兒，可見“我”戴的是白帽.

這樣，“3人2頂黑帽，3頂白帽”的問題也就容易解決了.假設(shè)“我”戴的是黑帽子，則其余2人的情況就變成與“2人1頂黑帽，2頂白帽”一樣的情況，他們可以立刻回答出來.但他們都思考了一會(huì)兒，這就說明，“我”戴的是白帽子.3人都有類似的想法，所以，都推出自己戴的是白帽子.

看到這里，同學(xué)們可能會(huì)拍手稱妙吧.后來，華羅庚先生還將原來的問題復(fù)雜化，提出了“n個(gè)人，（n-1）頂黑帽子，若干（不少于n）頂白帽子”的問題.運(yùn)用上面介紹的方法便可迎刃而解.他還告訴我們：復(fù)雜的問題要善于“退”，足夠地“退”到最原始而不失去重要性的地方，是解決數(shù)學(xué)問題的一個(gè)訣竅.