轉化讓我嘗到了“甜頭”

楊璐銘

平時學習數學，老師總強調要注意運用數學思想解決問題，可我一直體會不到數學思想對解題有多大幫助. 學習了平移與旋轉后，利用平移與旋轉變換將復雜的問題轉化為簡單的問題，使我嘗到了巧妙解決問題的快樂，體會到了轉化思想給我帶來的甜頭，如果你不信，請你跟我走.

如圖1，在兩個同心圓中，三條直徑把大圓分成相等的六部分，若大圓半徑為2，則圖中陰影部分的面積為.

根據已知條件，陰影部分的面積不能直接求，怎么辦呢？三條直徑把大圓分成相等的六部分，同時也把小圓分成相等的六部分……啊哈，有了，如果利用旋轉的方法，便可以將陰影部分全部集中到一起，恰好組成一個半徑為2的半圓，因此圖中的陰影部分面積為：π×22=2π.

怎么樣，利用旋轉將分散的不規則圖形集中到一個規則的圖形中去，再利用規則圖形的性質解決問題，這種轉化方法妙吧，更妙的還在后面呢！

如圖2，在一塊長為51 m，寬為21 m的長方形草地上，有兩條分別穿過長、寬的彎曲的小路，小路任何地方的水平寬度都是1 m，求草地的面積是多少.

草地的面積等于長方形的面積減去小路的面積，可小路是彎曲的，形狀不規則，不能直接求.由于小路任何地方的水平寬度都是1 m，小路可看做一條彎曲的線平移1 m得到的，每條小路兩邊的部分可通過平移移到一起……有了，假設先將一條小路剪去，如圖3，去掉了穿過長的小路，將小路的兩邊部分移到一起，得到了一個新長方形.再去掉穿過寬的小路，再平移，如圖4，這樣得到了一個長為50 m，寬為20 m的草地，其面積為（51-1）×（21 - 1）=1 000（m2）.

怎么樣，利用平移的方法也能將不規則圖形集中到一起，轉化為規則圖形，這種方法是不是更妙！別著急，還有呢.

如圖5，原來是重疊的兩個直角三角形，將其中一個三角形沿著BC方向平移BE的距離，就得到此圖形，其中AB=10 cm，BE=6 cm，DH=4 cm，求陰影部分的面積.

由平移的性質可得陰影部分是個梯形，此梯形只知一腰DH的長，無法直接求面積.平移不改變圖形的形狀與大小，△HEC是平移前后兩直角三角形重疊的部分.好！兩直角三角形的面積都減去△HEC的面積，其差相等，即陰影部分的面積等于梯形ABEH的面積，S梯形ABEH=（AB+EH）·BE，由于EH=DE-DH=AB-DH=10-4=6，所以S梯形ABEH= × （10+6）×6=48，因此陰影部分的面積為48 cm2.

這道題拋開圖形的形狀，只考慮圖形的面積，從而達到了面積轉化的目的，是不是也很妙呢？

現在，你是否也體會到轉化思想的奧妙了呢？趕快拿起筆來試試吧！（指導老師：劉書妹）

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”。