美麗的全等圖形

李昊然

同學們學過的軸對稱、平移、旋轉以及中心對稱這些變換后的圖形都是全等的，它們在同學們的生活和學習中形成了一道美麗的風景線，同時也給社會帶來了美麗與和諧.

一、軸對稱變換

這部分內容主要有以下幾點：（1）判斷一個圖形是不是軸對稱圖形；（2）弄清軸對稱與軸對稱圖形的區別與聯系；（3）找出對稱軸的條數.

【溫馨提示】注意理解軸對稱和軸對稱圖形的有關概念，對稱軸的概念以及判斷，對圖形要多觀察，有時可借助于直覺判斷.

例1（1）（2008年·煙臺市）下列交通標志中，不是軸對稱圖形的是

（）.

（2）（2008年·青島市）圖1的各圖形中，軸對稱圖形的個數是（）.

Ａ． 1 Ｂ． 2 Ｃ． 3 Ｄ． 4

分析： 本例主要考查軸對稱圖形的識別：一個圖形如果沿著某條直線對折，直線兩旁的部分能夠完全重合，則可判定該圖形是軸對稱圖形.求解這類題時，應根據軸對稱圖形的定義去觀察、分析它的各個選項，然后再作選擇.

解：（1）觀察4個圖形，易知只有C中圖案不是軸對稱圖形，故應選C.

（2）觀察4個圖形，易知只有第1個與第4個圖案不是軸對稱圖形，故應選B.

點評：本題考查的是生活中的符號、標志，提醒我們要留意身邊符號的意義，要學會欣賞軸對稱圖形帶給我們的美．

二、平移變換

在同一平面內，將一個圖形沿著某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移．平移是繼軸對稱以后的又一個圖形的基本變換，平移既可以表示物體（圖形）運動的過程，也可以表示物體（圖形）運動后最終的位置與初始位置的關系，平移不改變圖形的形狀和大小．

例2（2008年·重慶市）作圖題.（不要求寫作法）

如圖2，在10×10的方格紙中，有一個格點四邊形ABCD（即四邊形的頂點都在格點上）.

（1）在給出的方格紙中，畫出四邊形ABCD向下平移5格后的四邊形A1B1C1D1.

（2）在給出的方格紙中，畫出四邊形ABCD關于直線l對稱的四邊形A2B2C2D2.

分析： 在平移作圖時，常用的方法有兩種：一是確定對應點，由對應點得到平移后的圖形；二是確定對應線段，由對應線段得到平移后的圖形．

解：作圖如圖3.

點評：平移時要搞清平移的方向和平移的距離.軸對稱首先要找到對稱軸，然后分別作已知點的對稱點，連線即可得到所求圖形.

三、旋轉變換

在平面內，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉，這個定點稱為旋轉中心，轉動的角度稱為旋轉角，旋轉不改變圖形的大小和形狀．

要理解好概念，應注意以下兩點：

（1）圖形的旋轉是由旋轉中心和旋轉角所決定的；

（2）注意圖形旋轉的對應元素．

例3（2008年·無錫市）如圖4，△OAB繞點O逆時針旋轉80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，則∠AOD等于（）.

Ａ． 55° Ｂ． 45°

Ｃ． 40° Ｄ． 35°

分析： 根據旋轉圖形的性質，旋轉不改變圖形的大小和形狀.

解：由題意得△OAB≌△OCD，所以∠AOB=∠COD=45°，所以∠AOD=80° - 45°=35°.

故應選 D.

點評：本題考查旋轉的性質，即圖形中每一個點都繞著旋轉中心旋轉了同樣大小的角度，對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段、對應角都相等，圖形的形狀、大小都不發生變化．

四、中心對稱變換

把一個圖形繞著某一點旋轉180°，如果它能和另一個圖形重合，那么我們就說這兩個圖形成中心對稱.這個點叫做對稱中心，這兩個圖形中的對應點叫做關于對稱中心的對稱點.

例4 （2008年·安徽省）如圖5，在平面直角坐標系中，一顆棋子從點P處開始依次關于點A、B、C進行循環對稱跳動，即第一次跳到點P關于點A的對稱點M處，接著跳到點M關于點B的對稱點N處，第三次再跳到點N關于點C的對稱點處……

如此下去.

（1）在圖中畫出點M、N，并寫出點M、N的坐標：.

（2）求經過第2 008次跳動之后，棋子落點與點P的距離.

分析： 解本題時，可在坐標系中先讓P點依次關于點A、B、C作循環對稱跳動，分別畫出對稱點，根據坐標系寫出對稱點的坐標；然后觀察跳動的規律，每跳動3次后回到P處，可以得出經過2 008次跳動后，棋子落在點M處，計算PM的距離得出結果.

解：（1）M（－2，0），N（4，4）（畫圖略）.

（2）棋子跳動3次后又回到點P處，所以經過第2 008次跳動后，棋子落在點M處.

PM== =2.

答：經過第2 008次跳動后，棋子落點與P點的距離為2.

點評：本題主要考查中心對稱和坐標的知識.一個圖形繞某點旋轉180°后能與另一個圖形重合，那么這兩個圖形關于這一點對稱，即中心對稱.解題時要充分結合坐標系進行考慮.

五、綜合變換

例5（2008年·南京市）如圖6，菱形 ABCD與菱形EFGH的形狀、大小完全相同．

（1）請從下列序號中選擇正確選項的序號填寫.

①點E、F、G、H，②點G、F、E、H，③點E、H、G、F，④點G、H、E、F．

如果圖6（1）經過一次平移后得到圖6（2），那么點A、B、C、D的對應點分別是.

如果圖6（1）經過一次軸對稱后得到圖6（2），那么點A、B、C、D的對應點分別是.

如果圖6（1）經過一次旋轉后得到圖6（2），那么點A、B、C、D的對應點分別是.

（2）①圖6（1），圖6（2）關于點O成中心對稱，請畫出對稱中心（保留作圖痕跡，不寫作法）.

②寫出兩個圖形成中心對稱的一條性質：．（可以結合所畫圖形敘述）

分析： 題中先給出了兩個全等的菱形，然后要求同學們按照題目中給出的提示和要求進行變換，做題時一定要根據這幾種全等變換的有關性質進行畫圖與判斷.

解：（1）①②④

（2）①畫圖略.

②答案不唯一，如對應線段相等，OC=OE等．

點評：本題是對平移、軸對稱、旋轉及中心對稱等相關知識的考查.（1）根據平移、軸對稱、旋轉的概念解決.（2）對應點的連線交于對稱中心.（3）寫出一條性質即可，如對應線段相等，對應角相等，連接對稱點的線段都經過對稱中心并且被對稱中心平分等.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”。