平移、旋轉中的五種關系

王麗敏

平移與旋轉現象是現實生活中的廣泛存在的現象，是現實世界運動變化的最簡單的形式之一，平移與旋轉變換都是圖形變換.

平移與旋轉是在“軸對稱”的基礎上，進一步研究圖形的另兩種基本變換，是義務教育階段“空間與圖形” 部分的主要內容，也是下一章學習平行四邊形的工具，更為將來研究圖形的全等及其性質奠定了良好的基礎.

學習平移和旋轉的關鍵是要善于處理五種關系.

一、平移中的五種關系

1. 靜與動的關系

圖形的平行移動，簡稱為平移.平移可以看做某一物體或基本的平面圖形沿著一定的方向平行移動的過程.如圖1，△ABC平移到△A′B′C′的位置，由此我們不難看出：雖然△ABC和△A′B′C′都是靜止的，但△ABC在移動的過程中，一直是沿著PQ的方向平行運動的.運動是平移的前提，運動后的靜止圖形△A′B′C′是平移后的結果.運動是為結果的靜止服務的.

2. 位置關系

平移也可以看做物體（圖形）運動后的最終位置與原先位置的關系.

（1）圖形之間的位置關系：平移中圖形的位置變化是由平移的方向和距離決定的，平移的方向和距離是平移的兩個要素.

如圖1，△ABC沿著PQ的方向平移了3 cm得到△A′B′C′，PQ的方向和平移的距離3 cm確定了△A′B′C′的位置.

（2）線段之間的位置關系：平移后的圖形與原圖形的對應線段具有平行的位置關系.如圖1，A′B′∥AB，B′C′∥BC，A′C′∥AC.除此之外，對應點的連線都互相平行，AA′∥BB′∥CC′，對應線段之間的距離為平移的距離，在圖1中對應線段之間的距離為3 cm.

3. 對應關系

（1）對應點：△ABC與△A′B′C′中，點A與點A′是對應點，點B與點B′對應，點C與點C′對應. △ABC與△A′B′C′有無數個對應點，如線段AB的中點與線段A′B′ 的中點也是對應點.

（2）對應線段：線段AB與線段A′B′是對應線段，線段BC與線段B′C′是對應線段，線段AC與線段A′C′是對應線段.

（3）對應角：∠ABC與∠A′B′C′是對應角，∠BCA與∠B′C′A′是對應角，∠BAC與∠B′A′C′是對應角.

一般情況下對應點、對應線段、對應角都是成對出現的.

4. 相等關系

平移前后的兩個圖形的對應角相等，對應線段相等，大小相等（即面積相等）. 如AB=A′B′，∠AB C=∠A′B′C′.

5. 形狀關系

平移后的圖形形狀與原圖形的形狀相比沒有發生變化，即形狀完全相同.

因此，平移具有如下特征：

（1）平移后的圖形與原來的圖形的對應線段平行且相等，對應角相等，圖形的形狀和大小都沒有發生變化.

（2）圖形平移后對應點所連的線段平行且相等.

需要注意的是：在平移的過程中，對應線段可能在一條直線上；對應點所連的線段也可能在同一條直線上.

對以上特征我們可以簡單地概括為：“一變，兩不變，三對應，兩相等，兩平行”.即平移前后，一變：圖形的位置發生了改變；兩不變：形狀和大小沒有發生改變；三對應：對應點、對應角、對應線段；兩相等：對應角相等、對應線段相等； 兩平行：對應線段平行、對應點所連的線段平行.

例1下列運動形式不是平移的是（）.

（1）電梯內人的升降，（2）火車在平直的軌道上運動，（3）鐘表上指針的運動，（4）奧運五環旗圖案（不考慮顏色）的形成過程，（5）電風扇的轉動.

A. （1）（4） B. （2）（3）

C. （3）（5） D. （2）（4）

解析： （1）中電梯內人的升降可看做是人在上下平行移動，（2） 可看做火車在平直的軌道上平行移動，（3）中指針是繞著鐘表軸心旋轉運動，（4）中圖案可以看做是其中一個圓環沿著某一方向平行移動而形成的，（5）中電風扇的轉動可以看做是扇葉繞著其軸心旋轉運動.所以答案應為C.

溫馨提示： 判斷一個物體的運動是不是平移，就要看該物體是否沿著一定的方向平行移動.

例2作圖題.（不要求寫作法）

如圖2，在10×10的方格紙中，有一個格點四邊形ABCD（即四邊形的頂點都在格點上），在給出的方格紙中，畫出四邊形ABCD向下平移5格后的四邊形A1B1C1D1.

解析：首先將四邊形的4個頂點向下平移5格，即畫出4個對應點.然后對應連接4個對應點，畫出原四邊形的4條對應線段，即可得到平移后的四邊形.如圖3.

溫馨提示： 平移作圖的關鍵就是要確定平移的方向和平移的距離，然后找出關鍵點，按要求平移關鍵點，最后連接關鍵點，畫出平移的圖形.

二、旋轉中的五種關系

1. 靜與動的關系

在平面內，將一個圖形繞著一個定點沿著某一個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉,這個定點稱為旋轉中心，轉動的角度稱為旋轉角.由此我們可知：旋轉中心在旋轉的過程中保持不動，而圖形是繞著旋轉中心運動的.我們不妨稱之為“一靜一動”.如圖4，△ABC繞著點A沿著逆時針方向旋轉到△ADE的位置，旋轉中心點A靜止不動，只是△ABC發生了運動.

2. 位置關系

旋轉既可以表示物體（圖形）運動的過程，也可以表示物體（圖形）運動后最終的位置與原先位置的關系，其位置由旋轉中心、旋轉方向和旋轉角決定.如圖4，△ADE和△ABC的位置關系是由旋轉中心A、逆時針方向旋轉和旋轉角∠CAE=82°決定的.

3. 對應關系

從圖4可以看到點B旋轉到點D，AB旋轉到AD，∠BAC旋轉到∠DAE.即點B的對應點是點D，線段AB的對應線段是線段AD，∠BAC的對應角是∠DAE.由此，我們可以看出△ABC和△ADE的對應點有無數個，每個對應點都旋轉了82°；對應線段有3條；對應角有3個.我們不妨將對應點、對應角、對應線段稱之為“三對應”.

4. 相等關系

圖形中每一點繞著旋轉中心旋轉的角度都相等，對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等，圖形的大小相等.我們將這五種相等關系稱之為“五相等”.

5. 形狀關系

旋轉后的圖形形狀與原圖形的形狀相比沒有發生變化.

為了使同學們更好地掌握旋轉的有關知識，我們將一個旋轉中心、三個對應關系和五個相等關系概括為“一中心，三對應，五相等”；將位置發生了變化和形狀沒有發生變化概括為“一變一不變”.

例3（2008年·廣州）將圖5按順時針方向旋轉90°后得到的是（）.

解析： A是順時針方向旋轉90°后得到的；B是順時針方向或逆時針方向旋轉180°后得到的；C未進行旋轉；D是逆時針方向旋轉90°后得到的.故應選A.

溫馨提示： 要認真審題，仔細觀察，莫將A、D混淆.旋轉除確定旋轉中心和旋轉角度外，更要確定旋轉的方向.

例4如圖6，△ABC是等腰直角三角形，等邊△ADC經過旋轉后到達△CEB的位置.請回答：

（1）旋轉中心是哪一點？

（2）旋轉角度是多大？

（3）如果點F是AD的中點，那么經過上述旋轉后點F轉到了什么位置？

解析： 旋轉中心和旋轉角是圖形旋轉的兩個主要決定因素.

（1）△ADC經過旋轉后到達△CEB的位置，C點保持靜止不動，所以旋轉中心是C點.

（2）D點旋轉到了B點的位置，D點的對應點是B點，線段CD的對應線段是線段CB，因為∠ACB=90°，∠ACD=60°，則旋轉角∠DCB=150°，所以圖形旋轉了150°.

（3）線段AD的對應線段是線段EB，點F是AD的中點，所以經過上述旋轉后點F轉到了線段BE的中點G的位置.

溫馨提示： （1）旋轉后的圖形與原圖形有無數個對應點，如對應線段的中點對應，對應角平分線與對邊的交點對應等；（2）圖形上每個點旋轉的角度都是相同的.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”。