探究求解策略　感悟數學思想

劉東升

數學思想和方法是數學的血液和精髓.它是解決數學問題的有力武器，是進行數學發現和創造的工具，又是處理數學問題的指導思想和基本策略，是數學的靈魂．

本學期每章都滲透了相應的數學思想，下面我們精選一些典型問題跟同學們就本學期常見的數學思想歸類例析，希望對同學們期末復習有所幫助．

一、感受數形結合思想

例1（2008年·湘潭市）如圖1，將一副七巧板拼成一只小貓，則圖1中∠AOB=.

【思路探究與簡解】由于所給的七巧板中三角形均為等腰直角三角形，故拼成的小貓中∠AOB=45°+45°=90°．

二、理解轉化思想

例2如圖2，一只螞蟻要從正方體的一個頂點A處沿表面爬行到頂點B處，怎樣爬行路線最短？如果要爬行到頂點C處呢？說出你的理由．

【思路探究與簡解】這只螞蟻要從正方體的一個頂點A處沿表面爬行到頂點B處，沿線段AB爬行的路線最短；如果要爬行到頂點C處，將正方體表面展開，易知沿圖3所示的折線ADC爬行的路線最短．這兩個結論都是利用“兩點之間，線段最短”的性質得出的．

三、體會整體思想

A．18 B．12 C．9 D．7

【思路探究與簡解】分析所給的條件，得到一個等式3x2-4x+6=9，表面上看這個代數式的值為9對我們解題毫無幫助，因為根據我們目前掌握的知識無法求出x的值，進而不能代入求x2-x+6的值了！難道本題沒法做了嗎？應該不會.再仔細觀察已知代數式與待求的代數式，我們會發現它們是有關系的.原來已知代數式中有3x2-4x，而待求的代數式中有x23x2-4x），經過這樣的變形后，我們只要根據已知條件求出3x2-4x這個整體的值為3，代入變形后的代數式（3x2-4x）+6，即可求出答案為7，故選D．

四、關注由特殊到一般的歸納思想

例4（2008年·哈爾濱市）觀察圖4中的圖形，它們是按一定規律排列的，依照此規律，第20個圖形共有____個★．

【思路探究與簡解】本題可以從三個方面觀察和思考，從而發現規律．

方法一：從圖形的變化角度可以發現，第1個圖形中共有3個★，第2個圖形比第1個圖形多3個★，第3個圖形比第2個圖形多3個★，依此類推，第20個圖形比第1個圖形多3×（20-1）=57（個）★，所以第20個圖形中有57+3=60（個）★.

方法二：從圖形中蘊涵的數字變化規律可以發現，第1個圖形中的★有3×1=3（個），第2個圖形中的★有3×2=6（個），第3個圖形中的★有3×3=9（個），依此類推可得第20個圖形中的★有3×20=60（個）.

方法三：從圖形整體的變化角度可以發現，每個圖形實際上是一個三角形，每條邊上的★的個數相等，且均比序號多1，所以第20個圖形中共有（20+1）×3-3=60（個）★．

五、點撥分類討論思想

例5（2007年·長沙市）經過任意三點中的兩點共可以畫出的直線是（ ）.

A．一條或三條 B．三條

C．兩條 D．一條

【思路探究與簡解】解答這道題要分兩種情況考慮：一是這三點都在同一條直線上時，就只能畫出一條直線；二是這三點不在同一直線上時，此時共可以畫出三條直線．故選A．