從回文詩到鏡反數(shù)

黃　瑞

中國文字優(yōu)美而神奇，如果在音律辭藻與形式變化上巧妙構(gòu)思，真有不少讓人嘆為觀止的神奇景象．譬如說，“夫憶妻兮父憶兒”，如果你從后面倒過來讀，那就會變成“兒憶父兮妻憶夫”，同樣有意義，真是妙極了！

清初女詩人吳絳雪作有一首轱轆回文詩：

香蓮碧水動風(fēng)涼，水動風(fēng)涼夏日長．

長日夏涼風(fēng)動水，涼風(fēng)動水碧蓮香．

全文只有10個不同的字，描繪了一幅風(fēng)吹水動、花香暗浮的夏日美景．妙的是詩的上兩句倒著讀過來就是詩的下兩句，若把詩的前兩句排成一個圓，順時針讀是上兩句，逆時針讀是下兩句，就像是一只來回旋轉(zhuǎn)的轱轆．

可將其精髓提取出來，反饋到數(shù)學(xué)領(lǐng)域中.我們把一個數(shù)倒讀后所得的數(shù)，稱為原數(shù)的“鏡反數(shù)”．鏡反數(shù)是一種相互的關(guān)系，例如1 234與4 321就互為鏡反數(shù)．

楊振寧博士是研究理論物理的華裔知名學(xué)者，1957年因宇稱不守恒理論而獲得諾貝爾物理學(xué)獎．1979年3月，他在一封信中談到了他的發(fā)現(xiàn)，揭示了自然數(shù)中存在的一些“鏡反數(shù)”現(xiàn)象．

我們用雙向箭頭?表示互為鏡反數(shù)的關(guān)系，例如：12?21．

上面左右兩個自然數(shù)，各自平方后成為144及441．我們注意到，它們依然保持了鏡反數(shù)的關(guān)系，即：122=144?441=212．

13和31互為鏡反數(shù)，它們各自平方后所得的數(shù)也保持了鏡反數(shù)的關(guān)系，即：132=169?961=312．

設(shè)自然數(shù)a的鏡反數(shù)是b，如果a2、b2也是一對鏡反數(shù)，我們稱a是平方鏡反數(shù)．

事實上，對于任何n位數(shù)（n大于1），都存在平方鏡反數(shù)．如102，1 002，

10 002， …在1和2中間插入任意多個0組成的數(shù)都是平方鏡反數(shù)；又如103，1 003，10 003等.可以發(fā)現(xiàn)，這些平方鏡反數(shù)只是由0，1，2，3組成，而且它們的排列有著“美麗的”規(guī)律．

不知道你注意到這個現(xiàn)象沒有：12、13是相鄰的自然數(shù)，而且它們都是平方鏡反數(shù).我們把這樣的一對自然數(shù)稱為相鄰平方鏡反數(shù)．12、13就是相鄰平方鏡反數(shù)，用符號記為｛12，13｝．

在兩位數(shù)中，除了｛12，13｝外，還有沒有其他的相鄰平方鏡反數(shù)？

在兩位數(shù)中還有：｛11，12｝，即112=121?121=112，122=144?441=212；｛21，22｝，即212=441?144=122，222=484?484=222．

在三位數(shù)中有：｛112，113｝，即1122=12 544?44 521=2112，1132=12 769?96 721=3112．

四位數(shù)中有：｛1 112，1 113｝，即1 1122=1 236 544?4 456 321=2 1112，1 1132=1 238 769?9 678 321=3 1112．

五位數(shù)亦是如此（一試便知）．

因此，現(xiàn)在只要把它們擴充：｛101，102｝，｛1 001，1 002｝，｛10 001，

10 002｝，…就可以得到無窮多組相鄰平方鏡反數(shù)．

在鏡反數(shù)中，不僅有相鄰平方鏡反數(shù)的奇妙現(xiàn)象，還有相鄰乘積鏡反數(shù)的有趣現(xiàn)象.如12與13是一對相鄰的自然數(shù)，12×13=156，它們鏡反數(shù)的乘積是31×21=651． 156和651互為鏡反數(shù)，即12×13=156?651=31×21． 12、13就是一對相鄰乘積鏡反數(shù)，用符號可記為［12，13］．事實上，所有的相鄰平方鏡反數(shù)都是相鄰乘積鏡反數(shù)．除了平方鏡反數(shù)，相鄰平方鏡反數(shù)，相鄰乘積鏡反數(shù)外，還有立方鏡反數(shù)等．

鏡反數(shù)其實也是數(shù)論中的內(nèi)容.數(shù)論內(nèi)容的確豐富多彩，僅鏡反數(shù)這部分內(nèi)容就這樣令人流連忘返．關(guān)于鏡反數(shù)，還有許多奇妙的性質(zhì)等待我們?nèi)ヌ剿鳎?/p>