神秘莫測的角谷猜想

郭宜垚

這個猜想大約是在20世紀30年代被提出來的.在西方，它常被稱為西拉古斯（Syracuse）猜想，因為據說這個猜想首先是在美國的西拉古斯大學研究的；而在東方，這個猜想由將它帶到日本的美籍日本數學家角谷靜夫（Shizuo Kakutani）的名字命名，被稱做角谷猜想.除此之外，它還有著一大堆其他各種各樣的名字，這些名字大概都和傳播、研究它的數學家或者地點有關：克拉茲（Collatz）問題，哈斯（Hasse）問題，烏拉姆（Ulam）問題，等等.1996年，B. Thwaites懸賞1 100英鎊來解決這個猜想.看在“錢大爺”的份上，角谷猜想于是又多了個名字，叫Thwaites猜想.今天，在數學文章或著作里，大家通常簡單地把它稱做“3X+1 問題”.

角谷猜想的內容是這樣的:

對任何一個正整數n，只要對n反復進行下列兩種運算:

（1） 如果n是偶數, 就除以2 ；

（2） 如果n是奇數, 就乘以3再加1.

那么,最后的結果總是1.

這是一個形式上很簡單的問題.要理解這個問題,所需要的知識不會超過小學三年級的水平.所以,每一個數學愛好者都可以來碰碰運氣，試試能不能證明它.不過在這里要提醒大家的是，已經有“無數的”數學家和數學愛好者嘗試過了，而且其中不乏數學天才和世界上一流的數學家，他們都沒有成功.事實上，在互聯網上已經有一些所謂的“證明”,但后來都被專家們否定.據說還有個數學愛好者跑到公證處去公證他的“證明”，生怕別人把他的好主意給偷跑了.如果你在幾小時或幾天內就找到了一個“證明”，那么你要把它一步一步地仔細寫下來，再看看是不是嚴密、正確，估計正確的概率可能比連續中10次彩票頭獎的概率還要低喲！當然,如果你能找到一個正整數,經過猜想所說的運算始終得不到1,也算成功了!不過,找這樣一個正整數也不容易,因為數學家們已經通過計算機驗證了,不大于2.702×10¹⁶的所有正整數都滿足這個猜想.

這種形式如此簡單、解決起來卻又如此困難的問題，對數學家們來說實在是可遇而不可求的. 一些數學家認為，角谷猜想的證明難度可能不亞于有著“數學王冠上明珠”之稱的哥德巴赫猜想（即每個大于2的偶數，都可表示為兩個質數之和）的證明難度.數學家們已經發表了不少篇嚴肅的關于角谷猜想即“3X+1問題”的數學論文，對這個問題進行了各方面的探討，可是這個問題本身始終沒有被解決.二十多年前，有人向著名的匈牙利數論學家保羅·厄爾多斯（Paul Erd?s）介紹了這個問題，并且問他怎么看待現代數學對這個問題無能為力的現象，厄爾多斯回答說：“數學還沒有準備好來回答這樣的問題.”

20世紀奧地利著名數理邏輯學家哥德爾（Kurt G?del） 證明了,在以自然數公理為基礎的數學公理系統中，總有不可證明的命題存在.公理系統的這種性質叫做不完備性.打個比方說，如果我們只取歐氏幾何的前四條公理，那么平行公理（即經過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行）是不能用這前四條公理證明出來的，也就是說，只有前四條公理的幾何是不完備的.

數學家們推測說，我們有可能不能證明“3X+1問題”；甚至，即使“3X+1問題”其實是錯誤的，我們也有可能不能證明這一點.當然，無論什么數學難題都有可能搞得數學家們疑神疑鬼，但其實是他們還沒有發現證明的方法.不過下面這個事實表明，“3X+1問題”離不可證明的問題或許并不太遠.

英國數學家康維（John Horton Conway），喜歡數學游戲的朋友可能會記起他的名字來（著名的“Game of Life”游戲就是他發明的），在1972年考慮了“3X+1問題”的推廣形式.在“3X+1問題”里，我們把數字除以2，可能得到2種余數（0或者1），按照余數我們使用2個公式（除以2或者乘3再加1）.康維考慮了除以一個固定的數p，按照余數的不同（這時就有p種不同的余數）分別使用p個公式的情況.然后他提出了一個類似于“結果總是1”的猜想.他在論文中證明了，這個猜想是不可證明的.

互聯網上有不少網站提供有關的程序，供數學愛好者驗證角谷猜想.比如在http://www.numbertheory.org/php/collatz.html，你只要在有關的頁面上輸入一個足夠大的正整數，然后按下“go”，就可以觀察到這個數像飛機一樣忽高忽低，經過漫長的“航程”最后降落在“1”的跑道上的生動畫面.