探索直線平行的條件

何春華

同學們，你們對平行線一定不陌生吧！因為在現實生活中隨處可見它的身影：火車的車軌、棋盤上的橫線與豎線、學校操場上的雙杠等． 這些都可以看做平行線． 生活中我們還需要思考這些問題：城市主干道上的分道線互相平行，怎樣才能夠畫出來呢？棋盤上橫線間及豎線間要互相平行，我們怎樣才能知道它制作得是否合格呢？帶著這些問題我們來看下面的具體實例．

[問題與情境]

星期天，樂樂和明明來到郊外的一條河邊，他們想測量一下他們所處位置的河岸是否平行． 他們各拿來了一個測角儀和兩根標桿.請問：就現有的條件，樂樂和明明能否判斷河岸是否平行？說說你的方案．

聰明的樂樂想出一個好辦法．他是這樣做的：通過目測使4個標桿在一條直線上（如圖1），4根標桿分別立在A、B、C、D所在的位置． 再用測角儀分別測出∠ABE和∠DCM的大小.若∠ABE ＋ ∠DCM ＝ 180°，則EF∥MN；若∠ABE ＋ ∠DCM ≠ 180°，則EF、MN 不平行.

這里其實用到了直線平行的條件：由∠ABE ＋ ∠DCM ＝ 180°，可得∠EBC ＋ ∠MCB ＝ 180°，從而由“同旁內角互補，兩直線平行”判斷出河的兩岸互相平行.

[開眼界]

1． 同位角、內錯角、同旁內角的概念

（1） 同位角：在兩條直線a、b的同方向，在第三條直線c的同側，像這樣位置相同的一對角叫做同位角．如圖2中，同位角有∠1和∠5、∠2和∠6、∠3和∠7、∠4和∠8．

（2）內錯角：在兩條直線a、b的內側，在第三條直線c的兩旁，這樣的一對角叫做內錯角． 如圖2中，∠3和∠5、∠4和∠6都是內錯角.

（3）同旁內角：在兩條直線a、b的內側，在第三條直線c的同旁，這樣的一對角叫做同旁內角． 如圖2中，∠4和∠5、∠3和∠6都是同旁內角.

溫馨提示： 對于較復雜的圖形，一般可采用如下方法區分角的關系．①把相關的一對角的邊用其他色筆或粗線條描出，這有助于分辨這對角的關系． ②在圖形中構成同位角的基本圖形形如字母“F”，如圖3（1）；構成內錯角的基本圖形形如字母“Z”或“N”，如圖3（2）；構成同旁內角的基本圖形形如字母“U”，或叫“開口形”，如圖3（3）.

2． 直線平行的三個基本條件

（1）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行，即“同位角相等，兩直線平行”． 如圖4，若∠1 ＝ ∠5（或∠2 ＝ ∠6或∠3 ＝ ∠7或∠4 ＝ ∠8），則a∥b.

（2）兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行，即“內錯角相等，兩直線平行”．如圖4，若∠2 ＝ ∠8（或∠3 ＝ ∠5），則a∥b.

（3）兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行，即“同旁內角互補，兩直線平行”． 如圖4，若∠2 ＋ ∠5 ＝ 180°（或∠3 ＋ ∠8 ＝ 180°），則a ∥ b.

3． 直線平行的其他條件

（1）平行于同一條直線的兩條直線平行．

（2）垂直于同一條直線的兩條直線平行．如圖5，a⊥c，b⊥c，則a∥b．

[經典例析]

例1如圖6，已知直線l1、l2被直線l3所截，若∠1 ＋ ∠4 ＝ 180°，試說明l1∥l2.

點撥：不妨從同位角、內錯角、同旁內角三個不同的角度出發進行探索.

解法（1）： ∵ ∠1 ＋ ∠4 ＝ 180°，（已知）

∠4 ＋ ∠5 ＝ 180°，（平角定義）

∴ ∠1 ＝ ∠5，（等量代換）

∴ l1∥ l2．（同位角相等，兩直線平行）

解法（2）： ∵ ∠1 ＋ ∠4 ＝ 180°，（已知）

∠1 ＋ ∠2 ＝ 180°，（平角定義）

∴ ∠2 ＝ ∠4．（等角的補角相等）

∴ l1∥l2．（內錯角相等，兩直線平行）

解法（3）： ∵ ∠1 ＋ ∠4 ＝ 180°，（已知）

∠1 ＝ ∠3，（對頂角相等）

∴ ∠3 ＋ ∠4 ＝ 180°．（等量代換）

∴ l1 ∥ l2．（同旁內角互補，兩直線平行）

本例通過從不同的角度證明同位角相等、內錯角相等及同旁內角互補來說明兩條直線平行，方法靈活，對我們開闊思路、提高解題能力大有裨益.

例2 如圖7，已知∠BED ＝ ∠B ＋ ∠D，試說明AB與CD的位置關系.

點撥：由已知條件無法判斷AB與CD的位置關系，需構造應用平行線判定方法的條件． 因此，過E作∠BEF ＝ ∠B，則AB∥EF．由已知可得∠FED＝∠D，則CD∥EF．由平行公理可得AB∥CD．

解：AB∥CD．理由如下：

過E作∠BEF ＝ ∠B，則AB∥EF．（內錯角相等，兩直線平行）

∵ ∠BED ＝ ∠BEF ＋ ∠FED ＝ ∠B ＋ ∠D，

∴ ∠FED ＝ ∠D．

∴ CD∥EF． （內錯角相等，兩直線平行）

∴ AB∥CD．（平行于同一條直線的兩直線平行）

當題目現有的條件不能解決問題時，可考慮作輔助線，輔助線常用虛線表示．

[即學即練]

1． 如圖8，∠1和[ ]是同位角，∠1和[ ]是內錯角，∠1和[ ]是同旁內角.

2． 如圖9，如果∠1＝[ ]，那么DE∥AC；如果∠1＝[ ]，那么EF∥BC；如果∠FED ＋ [ ] ＝ 180°，那么AC∥ED；如果∠2＋[ ]＝180°，那么AB∥DF.

3． 如圖10，由[ ]（填上一個合適的條件），可得BC∥DE.

4． 如圖11，A、B兩地之間有一座山，一條鐵路要通過A、B兩地，在A地測得∠MAB ＝ 75°．如果A、B兩地同時開工，那么B地按∠NBA的度數為[ ]施工可使鐵路在山腹中準確接通.

5． 如圖12，下列推斷錯誤的是（）．

A． 因為∠1 ＝ ∠2，所以 l3∥l4B． 因為∠3 ＝ ∠4，所以l3∥l4

C． 因為∠1 ＝ ∠3，所以l3∥l4D． 因為∠2 ＝ ∠3，所以l1∥l2

6． 如圖13，一條公路修到湖邊時，需拐彎繞道而過． 如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，這時的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則∠C等于（）．

A． 120° B． 130° C． 140° D． 150°

7． 如圖14，在屋架上要加一根橫梁DE，若∠ABC ＝ 35°，那么∠ADE應該為多少度才能使DE∥BC？為什么？

8． 如圖15，已知∠1 ＝ 40°，∠2 ＝ 55°，∠3 ＝ 85°，那么直線l1與l2是否平行？為什么？

9． 如圖16，已知∠ABC ＝ ∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F，那么EC與DF有什么位置關系？試說明你的理由.

10．如圖17，已知CB⊥AB，點E在AB上，且CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，∠EDC ＋ ∠DCE ＝ 90°． 試說明：DA⊥AB.

[中考風向標]

1． （2006年·天門市）如圖18，直線a、b被直線c所截，現給出下列4個條件：①∠1 ＝ ∠5；②∠1 ＝ ∠7；③∠2 ＋∠3 ＝ 180°；④∠4 ＝ ∠7．其中能說明a∥b的條件為（）．

A． ①② B． ②

C． ①④ D． ①②④

因為∠1與∠5是同位角，故有∠1＝∠5時a∥b，①符合條件；因為∠1＝∠7，又∠7＝∠5，所以∠1＝∠5，所以a∥b，②符合條件；條件③中，∠2與∠3是鄰補角，不能判定兩直線平行；條件④中，因為∠5 ＝ ∠7，只有當∠4 ＋∠5 ＝ ∠4 ＋ ∠7 ＝ 180°時，才能判定兩條直線平行，所以④不符合條件． 故選A.

2． （2007年·淮安市）如圖19，能判定EB∥AC的條件是（）．

A．∠C ＝ ∠ABE B．∠A ＝ ∠EBD

C．∠C ＝ ∠ABC D．∠A ＝ ∠ABE

選D，利用內錯角相等，兩直線平行.

本節內容在中考中主要以考查基礎知識為主． 主要考查利用同位角、內錯角、同旁內角來判定兩條直線平行，以填空題和選擇題的形式為主．

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