學會觀察——《余角和補角》導學

張　茂

在我們認識圖形世界的時候，就有角的出現，角有銳角、直角、鈍角、平角等.我們學過的角已經不少了，在畫線的時候，也往往會畫出一些角，這些角之間又有什么關系呢？

[問題與情境]

初中的學習，要學會觀察，學會思考，上面的問題其實就在我們的身邊.

某學校組織學生在植樹節這天在校園里種樹．大伙兒分工合作，有的挖坑，有的放村苗，有的澆水，干得熱火朝天． 有幾棵樹苗由于填土太少，被澆得傾斜了（如圖1所示），我心里很是同情，就過去扶直小樹． 在扶直小樹的一剎那，我忽然想到了我們要學習的余角．哦！原來我們生活中就有豐富的數學知識.我繼續向前走，一位同學正在挖坑，鐵鍬和地面形成了兩個角（如圖2所示），那不就是我們要學習的互補角的模型嗎？我深情地望著眼前的情景，欣喜地想著要學習的內容，真是數學離不開生活，生活中到處都有數學．只要我們細心地觀察，認真思考，一定還能發現很多生活中的數學問題.你能說出圖1、圖2中∠α與∠β的關系嗎？

我們觀察圖1，斜向上的實線表示被雨水澆歪了的樹苗，那么此時的樹苗與地面就不垂直了，虛線表示栽種時垂直于地面的樹苗，那么虛線與地面（水平線）垂直，即有∠α ＋ ∠β ＝ 90°.

我們再來觀察圖2，鐵鍬與地面所成的兩個角都不是直角，但是，這兩個角正好組成一個平角，即有∠α ＋ ∠β ＝ 180°.

如果兩個角的和是直角，那么稱這兩個角互為余角，簡稱互余．也就是說，其中一個角是另一個角的余角，∠α的余角可表示為90°－∠α．

如果兩個角的和是平角，那么稱這兩個角互為補角，簡稱互補．也就是說，其中一個角是另一個角的補角，∠α的補角可表示為 180°－∠α．

[開眼界]

歐氏幾何是歐幾里得幾何學的簡稱，創始人是公元前3世紀古希臘偉大的數學家歐幾里得.在他以前，古希臘人已經積累了大量的幾何知識，并開始用邏輯推理的方法證明一些幾何命題.歐幾里得這位偉大的幾何建筑師在前人準備的“木石磚瓦”材料的基礎上，天才地按照邏輯系統把幾何命題整理起來，建成了一座巍峨的幾何大廈，完成數學史上的光輝著作——《幾何原本》，這本書的問世，標志著歐氏幾何的建立，是整個數學發展史上意義極其深遠的大事，也是整個人類文明史上的里程碑.

歐幾里得將過去許多沒有聯系和未予嚴謹證明的定理加以整理，使幾何學變成一座建立在邏輯推理基礎上的不朽豐碑.《幾何原本》的意義不僅限于其內容的重要或者他對定理的出色證明，真正重要的是歐幾里得在書中創造的一種公理化的方法.

在證明命題時，每一個命題總是從前一個命題推導出來，而這前一個命題又是從再前一個命題推導出來的.我們不能這樣無限地推導下去，總有一些命題要作為起點.這些作為論證的起點、具有自明性且其自明性已被公認下來的命題稱為公理，如“兩點確定一條直線”等.同樣，對于概念來講也有不加定義的原始概念，如點、直線等.在一個數學理論系統中，盡可能少地采用原始概念和不加證明的公理，由此出發，利用純邏輯推理，把該理論體系建立成一個演繹系統，這樣的方法稱為公理化方法，歐幾里得就是采用這種方法，以公理、公設、定義為要素，一個接著一個地證明了大量的命題.其論證之精彩，邏輯之周密，結構之嚴謹，令人嘆為觀止.零散的數學理論被他成功地編織為一個從基本假定到復雜結論的系統.在數學發展史上，歐幾里得是成功地應用公理化方法的第一人.

用現代的標準來衡量，《幾何原本》在邏輯的嚴謹性上還存在著不少缺點.其公理系統還不完備，個別公理不是獨立的，可以由其他公里推出，許多定理的證明又不得不借助于直觀完成.1899年德國數學家希爾伯特公理體系的成功建立，使歐幾里得幾何學成為一個邏輯結構完善而嚴謹的幾何體系.

[經典例析]

例1 如圖3，O是直線AB上的一點，∠AOE＝∠FOD＝90°，OB平分∠COD．

（1）圖中與∠DOE互余的角有哪些？

（2）圖中與∠DOE互補的角有哪些？請說明理由．

圖中與∠DOE的和為90°的角均是其余角，與這個角的位置沒有關系；與∠DOE的和為180°的角均是其補角，也與這個角的位置沒有關系.

解：（1）圖3中與∠DOE互余的角有∠EOF、∠BOD、∠BOC.

① ∵ ∠FOD ＝ 90°，∠FOD ＝ ∠DOE ＋ ∠EOF，

∴ ∠DOE ＋ ∠EOF ＝ 90°．

∴ ∠EOF是∠DOE的余角．

② ∵ ∠AOE ＋ ∠BOE ＝ 180°， ∠AOE ＝ 90°，

∴ ∠BOE ＝ 90°．

又 ∠BOE ＝ ∠DOE ＋ ∠BOD，

∴ ∠DOE ＋ ∠BOD ＝ 90°．

∴ ∠BOE是∠DOE的余角．

③ ∵ OB平分∠COD，

∴ ∠BOC ＝ ∠BOD．

又 ∠BOD ＋ ∠DOE ＝ 90°，

∴ ∠BOC ＋ ∠DOE＝ 90°．

∴ ∠BOC是∠DOE的余角．

（2）圖3中與∠DOE互補的角有∠BOF、∠COE.

① ∵ ∠AOE ＝ ∠DOF，

∴ ∠AOF ＋ ∠EOF ＝ ∠DOE ＋ ∠EOF．

∴ ∠AOF ＝ ∠DOE．

∵ ∠AOF ＋ ∠BOF ＝ 180°，

∴ ∠DOE ＋ ∠BOF ＝ 180°．

∴ ∠DOE與∠BOF互為補角．

② ∵ ∠BOC ＋ ∠DOE ＝ ∠EOF ＋ ∠DOE ＝ 90°，

∴ ∠BOC ＝ ∠EOF．

∴ ∠BOC ＋ ∠BOE ＝ ∠EOF ＋ ∠BOE．

∴ ∠COE ＝ ∠BOF．

∵ ∠DOE ＋ ∠BOF ＝ 180°，

∴ ∠DOE ＋ ∠COE ＝ 180°．

∴ ∠DOE與∠COE互為補角．

解這類題目，一定要理解余角、補角的定義，互余角、互補角的找法是看這兩個角的和是否為90°或180°，與這兩個角的位置無關.

例2 一個角的余角比這個角的補角的 還小10°，求這個角的余角及這個角的補角的度數.

一般采用代數的方法.因為這個角的余角與補角都與這個角有關，所以，可設間接未知數，再找出題中的等量關系，列出一元一次方程，從而求解.

解：設這個角的度數為x，則這個角的余角的度數為90 °－ x，這個角的補角的度數為180 °－ x. 依題意得

90° － x ＝ （180 °－ x） － 10°．

解得x ＝ 60°

故90° － x ＝ 30°，180° － x ＝ 120°．

答：這個角的余角為30°，這個角的補角為120°.

解這類題時，因為不知道這個角的度數，所以難以直接求出它的余角或補角． 因此解題的關鍵是求出這個角的度數，所以設這個角的度數為x，再根據題意找到相等關系，從而求解.

例3 如圖4 ，三條直線AB、CD、EF相交于同一點O，則圖中小于平角的角中，有[ ]對對頂角，分別是[ ]．

根據對頂角的概念，可推知：兩條直線相交有2對對頂角，三條直線相交，共有6對對頂角． 由AB與CD相交成的對頂角有∠AOC與∠BOD、∠COB與∠DOA；由AB與EF相交成的對頂角有∠EOB與∠FOA、∠AOE與∠BOF；由CD與EF相交成的對頂角有∠COE與∠DOF、∠EOD與∠FOC．共6對.

答案：6 ∠AOC與∠BOD、∠COB與∠DOA、∠EOB與∠FOA、∠AOE與∠BOF、∠COE與∠DOF、∠EOD與∠FOC

解這類題的關鍵是要防止遺漏或重復，為此，我們可以先看有幾對兩兩相交的直線，然后利用每兩條相交直線形成2對對頂角這一結論去計數.其實對頂角的找法不止一種，也可以先以一個角為標準進行計數（∠AOC、∠COE、∠EOB的對頂角），再找出由兩個角合并成一個角的角（∠AOE、∠COB、∠EOD的對頂角），再進行計數.還可以以一條邊為起點，向一個方向旋轉著去找角.

[即學即練]

1． 如果一個角是36°，那么（）．

A． 它的余角是64° B． 它的補角是64°

C． 它的余角是144° D． 它的補角是144°

2． 過一個鈍角的頂點作這個角的兩邊垂線，若這兩條垂線的夾角為40°，則此鈍角為（）．

A． 140° B． 160°

C． 120° D． 110°

3． 鐘表上12時15分時，時針與分針的夾角為（）．

A． 90° B． 82．5°

C． 67．5° D． 60°

4． 如圖5，直線AB、CD相交于點O，OE⊥AB于點O，OF平分∠AOE，∠1 ＝ 15°30′，則下列結論中不正確的是（）．

A．∠2 ＝ 45°

B．∠1 ＝ ∠3

C．∠AOD與∠1互為補角

D．∠1的余角等于75°30′

5． ∠1、∠2互為補角，且∠1＞∠2，則∠2的余角是（）．

A． （∠1＋∠2） B． ∠1

C． （∠1－∠2） D． ∠2

6． 若∠A ＝ 30°，則∠A的余角的度數為[ ].

7． 已知∠A＝30°，那么∠A的補角的度數為[ ].

8． 如圖6，將兩塊三角板的直角頂點重合后重疊在一起，如果∠1 ＝ 40°，那么∠2 ＝ [ ]．

9． 一個角的余角與這個角的補角之和為180°，求這個角的度數.

10． 分析圖7所示的折疊過程回答問題．

（1）∠2的度數是多少？為什么？

（2）∠1與∠3有何關系？

（3）∠1與∠AEC，∠3與∠BEF分別有何關系？

[中考風向標]

1． （2007年·常州市）若∠α ＝ 30°，則∠α的余角的度數為[ ].

互為余角的概念是指：如果兩個角的和為90°，那么這兩個角互為余角.此題已知∠α ＝ 30°，那么它的余角的度數就是90° － 30° ＝ 60°.

2． （2007年·南京市）如果∠α ＝ 40°，那么∠α的補角等于[ ].

互為補角的概念是指：如果兩個角的和是180°，那么這兩個角互為補角.此題已知∠α ＝ 40°，那么它的補角的度數就是180° － 40° ＝ 140°.

3． （2007年·河北）如圖8，直線a、b相交于點O，若∠1等于40°，則∠2等于（）．

A． 50° B． 60°

C． 140° D． 160°

由圖8可知，∠1與∠2是鄰補角，則有∠1 ＋ ∠2 ＝ 180°，已知∠1 ＝ 40°，所以∠2就能求出來了，∠2 ＝ 180° － 40°＝140°.

4． （2007年·寧德市）如圖9，CD⊥AB，垂足為C，∠1 ＝ 130°，則∠2 ＝ [ ]．

∠2的余角也是∠1的補角，∠1＝130°，其補角為50°，則50°角的余角是40°，即∠2 ＝ 40°.

5． （2007年·濟南市）已知：如圖10，AB⊥CD，垂足為O，EF為過點O的一條直線，則下列∠1與∠2的關系中，一定成立的是（）．

A．相等 B．互余

C．互補 D．互為對頂角

由AB⊥CD知，∠BOD ＝ 90°，EF為過點O的一條直線，所以，∠1 ＋ ∠2 ＋ ∠BOD ＝ 180°，則∠1 ＋ ∠2 ＝ 90°． 兩個角的和為90°，這兩個角一定互為余角.

6． （2007年·資陽市）如圖11，已知△ABC為直角三角形，∠C ＝ 90°，若沿圖中虛線剪去∠C，則∠1 ＋ ∠2等于（）．

A． 90° B． 135°C． 270° D． 315°

由圖11可知，∠1 ＋ ∠3 ＝ 180°，∠2 ＋ ∠4 ＝ 180°，而∠3 ＋ ∠4 ＝ 90°，所以，∠1 ＋ ∠2 ＝ （180° － ∠3 ） ＋ （180° － ∠4 ） ＝ 180° ＋ 180°－ （∠3 ＋ ∠4） ＝ 180° ＋ 180° － 90° ＝ 270°.

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