分析坐標(biāo)特點(diǎn) 確定二次函數(shù)解析式

求二次函數(shù)解析式問題，多數(shù)情況下是給出一些點(diǎn)為已知條件，這些點(diǎn)往往藏有玄機(jī).同學(xué)們拿到這類題目，首先要研究這些點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，破解玄機(jī)，找到最簡潔的解法.

例1 已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)(2，1)，(-1，-8)，(0，-3)，求這個(gè)拋物線的解析式.

解析: 設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0).

根據(jù)題意，得4a+2b+c=1，a-b+c=-8，c=-3.解得a=-1，b=4，c=-3.

所以拋物線的解析式為y=-x2+4x-3.

點(diǎn)評(píng):這三個(gè)點(diǎn)沒有突出特征，因此用“一般式法”.先設(shè)解析式為y=ax2+bx+c(a≠0)，然后將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入，構(gòu)造方程組來解.

例2 已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-1，0)，B(3，0)，C(0，-3)三點(diǎn).求此二次函數(shù)的解析式.

解析: 顯然點(diǎn)A，B在x軸上，所以可設(shè)此二次函數(shù)的解析式為y=a(x+1)(x-3).

因?yàn)樵摵瘮?shù)圖象又過點(diǎn)(0，-3)，代入這個(gè)解析式，可求得a=1.

因此，所求的二次函數(shù)解析式為y=(x+1)(x-3)，即y=x2-2x-3.

點(diǎn)評(píng):已知二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)(x1，0)，(x2，0)，則相當(dāng)于方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，從而ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).故二次函數(shù)可表示為y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).這種方法稱為“交點(diǎn)式法”.

例3 已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2，-3)，且圖象過點(diǎn)(-3，-2).求此二次函數(shù)的解析式.

解析: 設(shè)這個(gè)函數(shù)的解析式為y=a(x+2)2-3，將點(diǎn)(-3，-2)的坐標(biāo)代入，可得a=1.故所求解析式為y=(x+2)2-3，即y=x2+4x+1.

點(diǎn)評(píng):若已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(k，h)，則其解析式可設(shè)為y=a(x-k)2+h.只需再知道圖象上另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入求出a即可.這種解題方法稱為“頂點(diǎn)式法”.在題設(shè)條件中，若涉及頂點(diǎn)坐標(biāo)#65380;對稱軸#65380;函數(shù)的最大(最小)值時(shí)，可使用頂點(diǎn)式法.

例4 已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A(0，1)，B(1，3)，C(-1，1)三點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

解析: 觀察A，C這兩個(gè)點(diǎn)，因它們的縱坐標(biāo)相同，所以它們是拋物線上的兩個(gè)對稱點(diǎn).設(shè)解析式為y=a(x-0)(x+1)+1，將B(1，3)代入，可求得a=1.所以解析式為y=x(x+1)+1，即y=x2+x+1.

點(diǎn)評(píng):當(dāng)條件中有拋物線上兩對稱點(diǎn)(x1，m)，(x2，m)時(shí)，可設(shè)解析式為y=a(x-x1)(x-x2)+m.這個(gè)式子一般稱為“對稱點(diǎn)式”.顯然當(dāng)m=0時(shí)，對稱點(diǎn)式就變?yōu)榻稽c(diǎn)式了.我們把這種類型的題目稱為“對稱型”.

例5 二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(4，- )，且在x軸上截得的線段AB的長為6.求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

解析: 一般地，若y=ax2+bx+c與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A(x1，0)，B(x2，0)，則可用a，b，c來表示線段AB的長.

AB=|x1-x2|= - = .

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-4)2- (a≠0)，y=ax2-8ax+16a- .

設(shè)拋物線與x軸交于A(x1，0)，B(x2，0)，則x1，x2是一元二次方程ax2-8ax+16a- =0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.顯然AB=|x1-x2|=6.

又|x1-x2|= = =6.

所以(x1-x2)2= =36，可得a= .

∴所求的函數(shù)解析式為y= (x-4)2- .

小試牛刀

1. 如圖1，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)C為(2，-1)，且在x軸上截得的線段AB的長為2.

(1) 求證:△ACB是等腰直角三角形.

(2) 求二次函數(shù)的解析式.

2. 如圖2，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，A，B分別在原點(diǎn)兩側(cè)，拋物線與y軸正半軸交于點(diǎn)C，若OA∶OB∶OC=1∶3∶3，且△ABC的面積為24，求二次函數(shù)的解析式.

答案或提示1. (1) 作CD⊥AB于D，易證DA=DB=DC. (2) y=x2-4x+3. 2. 由OA∶OB∶OC=1∶3∶3，且△ABC的面積為24，可得A(-2，0)，B(6，0)，C(0，6).二次函數(shù)的解析式為y=- x2+2x+6.

責(zé)任編輯/趙良河

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”#65377;