反比例函數中考題種種

反比例函數是初中數學三大函數之一，與生活聯系緊密，是每年中招考試的必考內容.本文從三個方面對反比例函數進行總結，幫助同學們將知識系統化，夯實基礎知識，提高解決實際問題的能力.

一、反比例函數的基本概念題

例1 （2008年新疆建設兵團）我們學習過反比例函數，例如，當矩形的面積S一定時，長a是寬b的反比例函數，其函數關系式可以寫成a= （S為常數，S≠0）．請你仿照上例另舉一個在日常生活、生產或學習中具有反比例函數關系的量的實例，并寫出它的函數關系式．

解：三角形的面積S一定時，三角形的底邊長y是高x的反比例函數，其函數關系式為y= （S為常數，S≠0）．

注意：將實際生活中的數學問題抽象成函數關系式時，一要注意題中所給條件的限制，即自變量的取值范圍；二要清楚哪個量是自變量，哪個量是常數，哪個量是因變量.

例2 （2008年云南省）函數y= 中，自變量x的取值范圍是______．

解：要使反比例函數有意義，必須分母不為0，故x-1≠0，x≠1.

二、確定反比例函數的解析式

例3 （2008年安徽?。┖瘮祔= 的圖象經過點（1，－2），則k的值為（）.

A．B． - C． 2D． －2

解：將點（1，－2）代入函數y= ，得-2= ，k=-2.故選D.

例4 （2008年襄樊市）在一個可以改變體積的密閉容器內裝有一定質量的二氧化碳，當改變容器的體積時，氣體的密度也會隨之改變，密度ρ（單位：kg/m3）是體積V（單位：m3）的反比例函數，它的圖象如圖1所示.當V=10 m3時，氣體的密度是（）.

A． 5 kg/m3 B． 2 kg/m3

C．100 kg/m3 D. 1 kg/m3

解：設反比例函數的解析式為ρ= （V>0）.觀察到函數圖象上的一個點（5，2），將其代入反比例函數ρ= 中，得k=10.

函數解析式為ρ= （V>0）.將V=10代入ρ= ，得ρ=1，故選D.

注意：（1） 這道題的解題思路是求出函數解析式，然后利用解析式求密度.這道題雖然簡單，但這種解題思路應用很廣.

（2） 這道題圖象只有第一象限一個分支，說明自變量大于零，列解析式時不要忘記注明取值范圍.

例5 （2008年寧波市）如圖2，正方形ABOC的邊長為2，反比例函數y= 過點A，則k的值是（）.

A． 2 B． -2 C． 4 D． -4

解：由正方形ABOC的邊長為2，可知正方形ABOC的面積為4.

又由反比例函數中k的幾何意義，可知｜k｜=4.

因為反比例函數的圖象在第二象限，所以k<0，則k=-4.故選D.

三、反比例函數的性質

例6 （2008年仙桃市）對于反比例函數y= （k≠0），下列說法不正確的是（）.

A. 它的圖象分布在第一、三象限?搖?搖?搖B. 點（k，k）在它的圖象上

C. 它的圖象是中心對稱圖形?搖?搖?搖D. y隨x的增大而增大

解：因k≠0，故k2>0.根據反比例函數的性質，A，B，C成立，故選D.

例7 已知反比例函數y= （a≠0）在每一象限內y的值隨x值的增大而減小，則一次函數y=-ax+a的圖象不經過（）.

Ａ． 第一象限Ｂ． 第二象限

Ｃ． 第三象限Ｄ． 第四象限

解：由反比例函數在每一象限內y的值隨x值的增大而減小，可知a>0，則-a<0.根據性質，一次函數的圖象過第一、二、四象限，故選C.

注意：反比例函數圖象的位置、k值的正負、函數的增減性（在每一象限內），這三者的關系是：其中一個確定，其他兩個也確定；k>0?圳圖象在一、三象限?圳減函數；k<0?圳圖象在二、四象限?圳增函數.

四、反比例函數的實際應用

例8 （2008年杭州市）為了預防流感，某學校用藥熏消毒法對教室進行消毒．已知藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中的含藥量y（mg）與時間t（h）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數關系式為y= （a為常數），如圖3所示．根據圖中提供的信息，解答下列問題.

（1） 寫出從藥物釋放開始，y與t之間的兩個函數關系式及相應的自變量的取值范圍.

（2） 據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25 mg以下時，學生方可進入教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經過多少小時后，學生才能進入教室？

解：（1） 將點P3， 代入y= ，解得a= .則y= .

將y=1代入y= ，得t= .反比例函數的解析式為y= t≥ .

將 ，1代入y=kt，得k= .所求正比例函數為y= t0≤t< .

（2） 解不等式 <0.25，得t>6.所以至少需要經過6 h后，學生才能進入教室.

責任編輯/趙良河

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