解答二次根式問題常見錯誤分析

例1（填“是”或“不是”）分數.

錯解：是.

評析： 受分數線的影響，誤以為 是分數.是不是分數，不能光看形式，而要看結果.如果假設它是分數，則它必是有理數，與它是無理數相矛盾！所以它不是分數.

正解：不是.

例2 計算： .

錯解：原式＝ + =1 .

評析： 誤以為存在結論“ = + （a≥0，b≥0）”，其實，一般情況下“ ≠ + （a≥0，b≥0）”.

正解：原式＝ = =1 .

例3 化簡： .

錯解：原式＝ =m+n .

評析： 解答有兩個錯誤：一是m＋n是一個整體，必須加括號；二是并不知道m+n是正是負，因此要加絕對值.

正解：原式＝ =｜m+n｜ .

例4 把式子a 中根號外的因式適當改變后移到根號內，并使原式的值不變.

錯解：原式＝= .

評析： 利用公式a= （a≥0）時，前提是a≥0.根號外的負因式（數）不能移進根號內，如-2≠ .因此，在將根號外的因式（數）移進根號內前，一定要先判斷所移因式（數）是否非負.

正解：由題意可知- ≥0，得a<0，所以-a>0.

∴原式＝-（-a） =-=- =- .

例5 化簡： .

錯解：原式＝ + = + = =2 .

評析： 在a≥0，b≥0時，有 = #8226; ，但一般情況下 ≠ ± .

正解：原式＝ = .

例6 化簡： .

錯解：原式＝ = .

評析： 解答忽視了“m<0”這個隱含條件.

正解：由題意得m<0.

∴原式＝ = =- .

例7 計算： ÷ × .

錯解：原式＝ ÷1= .

評析： 乘、除是同級運算，應按照從左到右的順序做，不應先算后面的乘法.

正解：原式＝ × × = .

例8 計算： ÷2 .

錯解：原式＝ ×==m.

評析： 這里把除法變為乘法時，把2 的倒數誤認為.

正解：原式＝ ×==2.

例9 計算： ÷（ + ）.

錯解：原式＝ ÷ + ÷ = + .

評析： 受“乘法分配律”的影響，誤以為存在“a÷（b+c）=a÷b+a÷c”這一結論.

正解：原式＝ = =3 -2 .

例10 已知0

錯解：原式＝（m-1）－（m＋1）＝－2.

評析： 這里忽視了“0

正解：由00.

∴原式＝｜m-1｜-｜m+1｜=1-m-（m+1）=-2m.

例11 化簡： .

錯解：原式＝ = - .

評析： 當x＝y>0時， - =0，錯解是將原式分子分母都乘以一個可能等于0的式子，所以這種方法是錯誤的.

正解1：（1） 當x＝y時，代入原式，得原式＝0.

（2） 當x≠y時， - ≠0，解法同錯解.

綜合（1）（2），得原式＝ - .

正解2：顯然x，y均為非負數.

∴原式＝ = - .

練習題

已知方程x2+3x+1=0的兩個根為α，β，求 + 的值.

解：由Δ=32-4×1×1=5≠0，可得α≠β.

由一元二次方程的根與系數的關系，得α+β=-3，α β=1.

∴原式＝ + = = =-3.

請指出解答中的錯誤，并給出正確解答.

責任編輯/馮 琦

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”