一元二次方程錯例剖析

一、忽視一元二次方程的定義

例1 有下列關于x的方程：

① ax2+bx+c=0；② 2x2+ =3；③ 2x2-x-5=0；④ x2-x+2x3.

其中一定是一元二次方程的個數是（）.

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

錯解：選B.

剖析： 若一個方程是一元二次方程，必須滿足三個條件：是整式方程；只含有一個未知數；未知數的最高次數是2.忽視任何一個條件都會導致錯解.對于方程①，因為沒有a≠0這個條件，所以不一定是一元二次方程；方程②不是整式方程；④不是方程，是代數式；只有③是一元二次方程.正確答案是A.

二、忽視a≠0這一條件

例2 如果關于x的一元二次方程（m-2）x2+3x+m2-4=0有一個根是0，求m的值.

錯解：把x=0代入（m-2）x2+3x+m2-4=0，得m2-4=0，解得m=±2.

所以m的值為2或-2.

剖析： 在求字母系數一元二次方程中某一字母的值時，一定要考慮滿足一元二次方程的二次項系數不能等于0這一條件.

正解：把x=0代入（m-2）x2+3x+m2-4=0，得m2-4=0，m=±2.

∵方程（m-2）x2+3x+m2-4=0是關于x的一元二次方程，

∴m-2≠0，即m≠2.所以m=-2.

三、兩邊約去含有未知數的代數式

例3 解方程3（2x-7）=2x（2x-7）.

錯解：方程兩邊同時約掉（2x-7），得3=2x，x= .

剖析： 在方程的兩邊同時除以含有未知數的代數式時，因為我們不知道這個代數式的值是否會為0，因此可能失根.

正解：原方程可化為3（2x-7）-2x（2x-7）=0.

整理，得（2x-7）（3-2x）=0.解得x1= ，x2= .

四、思考不全面

例4 若關于x的方程mx2-4x+4=0有實數根，求m的取值范圍.

錯解：因方程有實數根，故b2-4ac≥0.

∴（-4）2-16m≥0.解得m≤1.

由m≠0，可知m≤1且m≠0.

剖析： 當m=0時，方程為一元一次方程，同樣也有實數根.

正解：當m≠0時，mx2-4x+4=0是一元二次方程，解法如錯解.

當m=0時，mx2-4x+4=0是一元一次方程，此時方程有解x=1.

綜上所述：當m≤1時，方程有實數根.

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