一元二次方程基本題型展示

題型1一元二次方程的概念問題

例1 關于x的方程（m－ ）xm2-1－x+3=0是一元二次方程，則m的值為.

解：根據一元二次方程的定義，得m2-1=2，m- ≠0.解之，得m=± ，m≠ .

所以m=- .

點評： 本題應注意兩點：① 未知數的最高次數是2；② 二次項系數不能為0.

題型2一元二次方程的解法問題

解一元二次方程時，首先考慮用因式分解法，這種方法最簡捷；其次考慮用求根公式法，這種方法是萬能的，它能解所有的一元二次方程；再次考慮用配方法，因為這種方法較為復雜.如果方程可以直接開平方，就用直接開平方法.

例2 已知關于x的方程2x2-ax-a2=0的一個根為1，求另一個根.

解：把1代入方程，得2-a-a2=0，即a2+a-2=0.

分解因式，得（a+2）（a-1）=0，所以a=-2或a=1.

當a=-2時，原方程為x2+x-2=0.

解得x1=1，x2=-2，即另一個根為-2.

當a=1時，原方程為2x2-x-1=0.解得x1=1，x2=- .即另一個根為- .故原方程的另一個根為-2或- .

例3 已知（x2+y2）2-y2=x2+6，求x2+y2的值.

解：原方程可化為（x2+y2）2-（x2+y2）-6=0.

分解因式，可得（x2+y2+2）（x2+y2-3）=0.

因x2+y2+2≠0，故x2+y2-3=0，即x2+y2=3.

點評： 一個方程兩個未知數，想求出x，y的值后，再求x2+y2的值是不可能的.故我們可以把x2+y2看成一個整體元，將方程化為關于x2+y2的一元二次方程，通過解方程達到求值的目的.

題型3一元二次方程根的判別式問題

一元二次方程根的判別式Δ=b2-4ac，只要知道它的值，不需要解方程便能判斷方程根的情況.另外，它在解含有參數的一元二次方程中起著限制作用，即參數的取值要確保方程有實數根.

例4 已知關于x的方程mx2-（2m+1）x+m+3=0.

（1） m取何值時方程有兩個不相等的實數根？

（2） m取何值時方程有兩個相等的實數根？

（3） m取何值時方程沒有實數根？

解：Δ=［-（2m+1）］2－4m（m+3）=-8m+1.

（1） 當-8m+1＞0且m≠0，即m＜ 且m≠0時，方程有兩個不相等的實數根.

（2） 當-8m+1=0且m≠0，即m= 時，方程有兩個相等的實數根.

（3 ）當-8m+1＜0且m≠0，即m＞ 時，方程沒有實數根.

點評： 這類問題的一般解法是：首先計算Δ，然后根據題設列出不等式或方程，解方程或不等式求出參數的值或取值范圍；當二次項系數含有參數時，還要注意二次項系數不能為零.

例5 已知關于x的方程x2+2（2-m）x+3-6m=0，求證：無論m取什么實數，方程總有實數根.

證明：Δ=［2（2-m）］2-4（3-6m）=4m2+8m+4=4（m+1）2.

∵無論m取什么實數，總有4（m+1）2≥0，即Δ≥0，

∴無論m取什么實數，方程總有實數根.

題型4一元二次方程根與系數的關系問題

一元二次方程根與系數的關系，也是中考的重點內容，與它有關的代數式計算變化多樣，要引起重視.

例6 已知方程x2-5x+7=0的兩根為x1，x2，求下列代數式的值：

（1） （x1-1）（x2-1）；（2）+ ；（3）+ .

解：由根與系數的關系，得x1+x2=5，x1x2=7.

（1） （x1-1）（x2-1）=x1x2-（x1+x2）+1=7-5+1=3.

（2）+ = = .

（3）+ =（x1+x2）2-2x1x2=52-2×7=11.

點評： 運用根與系數的關系求參數的值時，所求參數的值一定要保證方程有實數根.因此，根與系數的關系要與判別式Δ≥0結合起來用.

題型5一元二次方程的應用問題

列一元二次方程解應用題，關鍵是審清題意，發現題目中的等量關系，并將其“譯”成數學式子.一般步驟是：① 審題，明確已知與未知；② 設未知數，可直接設或者間接設；③ 列方程，把等量關系轉化為方程；④ 解方程，檢驗后寫出答語.

例7 一個三位數，十位上的數字比個位上的數字大3，百位上的數字等于個位上數字的平方.若這個三位數比它的個位上的數字與十位上的數字之積的25倍大202，求這個三位數.

解：設個位數字為x，則十位上的數字為x+3，百位上的數字為x2.

由題意，得100x2+10（x+3）+x=25x（x+3）+202.

整理，得75x2-64x-172=0. 解得x1=2，x2=- （不合題意，舍去）.

∴x+3=5，x2=4.這個三位數是452.

例8 某農具廠今年1月份生產一批甲、乙兩種型號的新式農具，其中乙型農具16臺.從2月份起，甲型農具每月增產10臺，乙型農具按相同的增長率逐月遞增.又知2月份甲、乙兩種型號農具的產量之比為3∶2，3月份兩種型號的農具產量之和為65臺.求乙型農具每月的增長率和甲型農具1月份的產量.

分析： 本題要求的有兩個未知數，間接的未知數有多個，但2月份的產量起承上啟下的作用，因此可以設2月份甲型農具的產量為3x臺，見下表.

解：設2月份甲型號農具的產量為3x臺.

由題意，得（3x+10）+1+ #8226;2x=65.

整理，得x2＋12x－220＝0. 解得x1＝10，x2＝-22（不合題意，舍去）.

∴ ×100％＝25％，3x-10＝20.

答：乙型農具每月的增長率為25％，甲型農具1月份的產量為20臺.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”