三角形中考開放題

一、條件開放

例１ （2007年海南省）如圖1，A，B，C，D在同一直線上，AB=CD，DE∥AF，若要使△ACF≌△DBE，則還需要補充的一個條件是：．

分析： 因為A，B，C，D在同一條直線上，所以可由AB=CD證得AC=DB．又DE∥AF，所以∠A=∠D．這樣，在△ACF和△DBE中就具備了一邊一角對應相等兩個條件，接著圍繞“SAS，AAS，ASA”選擇條件添加即可．

解：以下條件任選其一填入：AF=DE；∠AFC=∠DEB；∠ACF=∠DBE；FC∥EB．

二、結論開放

例2 （2007年寧波市）如圖2，△ABC中，AB=AC，過點A作GE∥BC，角平分線BD，CF相交于點H，它們的延長線分別交GE于點E，G.試在圖2中找出3對全等三角形，并對其中一對全等三角形給出證明．

分析： 此題結論較多，需要綜合運用等腰三角形的性質、平行線的性質、角平分線等知識先對其中的相等角和相等線段加以識別歸納.圖中共有５對全等三角形．

解：以下結論任選其三回答即可：△ABD≌△ACF；△BFH≌△CDH；△BFC≌△CDB；△AGC≌△AEB；△AGF≌△AED.

下面選擇△ABD≌△ACF證明如下：

由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB.

又∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，

∴∠ABD= ∠ABC，∠ACF= ∠ACB.

∴∠ABD=∠ACF.

又∵AB=AC，∠BAD=∠CAF，

∴△ABD≌△ACF.

三、圖形開放

例3 （2007年太原市）如圖3，在4×4的正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1．線段AB和CD分別是圖中1×3的兩個矩形的對角線，顯然AB∥CD．請你用類似的方法畫出過點Ｅ且垂直于AB的直線，并證明．

解：作出1×3矩形的對角線AE后，可發現△EFA≌△AGB，從而證得∠EAF與∠GAB互余，所以∠EAB=90°.由此知道直線AE就是所要畫的直線．證明略.

四、過程開放

例4 （2007年紹興市）我們知道，兩邊及一邊的對角分別對應相等的兩個三角形不一定全等．那么在什么情況下，它們會全等呢？

（1） 閱讀與證明

如果這兩個三角形均為直角三角形，顯然它們全等；

如果這兩個三角形均為鈍角三角形，可證它們全等（證明略）；

如果這兩個三角形均為銳角三角形，它們也全等.可證明如下.

已知：如圖4，△ABC，△A1B1C1均為銳角三角形，AB=A1B1，BC=B1C1，∠C=∠C1.

求證：△ABC≌△A1B1C1.

證明：分別過點B，B1作BD⊥CA于點D，B1D1⊥C1A1于點D1.

則∠BDC=∠B1D1C1=90°.

∵BC=B1C1，∠C=∠C1，

∴△BCD≌△B1C1D1.

∴BD=B1D1.

問題：請你將以上證明過程補充完整.

（2） 歸納與敘述

由（1）可得到一個正確結論，請你寫出這個結論．

解：（1） 證明補充略.

（2） 兩個三角形有兩邊和其中一邊的對角分別對應相等，如果這兩個三角形同為銳角三角形或同為直角三角形或同為鈍角三角形，那么這兩個三角形全等.

責任編輯/趙良河

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