等腰三角形創新題展示

近幾年涌現出一大批以等腰三角形為背景，內涵豐富、設計新穎獨特的創新試題，下面舉例說明.

1. 條件探索型

例1 如圖1，在△ABC中，D，E分別是AC，AB上的點，BD與CE交于點O.給出下列四個條件：① ∠EBO=∠DCO；② ∠BEO=∠CDO；③ BE＝CD；④ OB＝OC．

（1） 上述四個條件中，哪兩個條件可判定△ABC是等腰三角形？（用序號寫出所有情況）

（2） 選（1）小題中的一種情形，證明△ABC是等腰三角形.

解：（1） ①③，①④，②③，②④四種情況可判定△ABC是等腰三角形.

（2） 下面以①③兩個條件證明△ABC是等腰三角形.

∵∠EBO=∠DCO，BE=CD，∠EOB=∠DOC，

∴△EOB≌△DOC.故OB=OC，∠OBC=∠OCB.

∴∠EBC=∠DCB.所以△ABC是等腰三角形.

2. 結論探索型

例2 如圖2，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線MN交AC于D.若∠A＝36°，則下列結論中成立的有，并且證明結論的正確性．

① ∠C＝72°；② BD是∠ABC的平分線；③ △BCD∽△ABC；④ △ABD是等腰三角形；⑤ △BCD的周長為AC+BC.

解：正確的結論有①②③④⑤.詳細證明請同學們自己完成．

3. 實驗操作型

例3 如圖3，在等邊△ABC所在的平面內求一點P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形.你能找到幾個這樣的點？畫圖描述它們的位置．

解：如圖3，△ABC三條邊的垂直平分線的交點P1滿足條件.分別以點A、點B為圓心，AB為半徑畫圓弧，交AC的垂直平分線于P2，P3兩點，則△P2 AB，△P2BC，△P2 AC，△P3 AB，△P3BC，△P3 AC也是等腰三角形.同樣可以在AB，BC的垂直平分線上再找到4個點P，使△PAB，△PBC，△PAC是等腰三角形．所以共有7個點．畫出的圖形如圖3．

說明： 此題容易只確定在△ABC內一的點.關鍵要注意三個等腰三角形的腰是哪兩條邊．分類討論探究題既是中考熱點，又是考生易錯點.克服差錯的方法是解題時常提醒自己：“還有其他情況嗎？”

4. 方案設計型

例4 圖4（1），圖4（2），圖4（3）這些等腰三角形與正三角形的形狀有差異，我們把與正三角形接近的程度稱為“正度”.在研究正度時，應保證相似三角形的正度相等.

設等腰三角形的底和腰分別為a，b，底角和頂角分別為α，β.要求正度的值是非負數.

同學甲認為：可用式子|a-b|來表示正度，|a-b|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；

同學乙認為：可用式子|α-β|來表示正度，|α-β|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形.

探究：（1） 他們的方案哪個較合理？為什么？

（2） 對你認為不夠合理的方案，請加以改進.（給出式子即可）

（3） 請再給出一種衡量等腰三角形正度的表達式.

解：（1） 同學乙的方案較為合理.因為|α-β|的值越小，α與β越接近60°，因而該等腰三角形越接近于正三角形，且能保證相似三角形的正度相等.同學甲的方案不合理，不能保證相似三角形的正度相等.如：邊長為4，4，2和邊長為8，8，4的兩個等腰三角形與正三角形的接近程度相同，但|2-4|=2≠|4-8|=4.

（2） 對同學甲的方案，可改為用 或 （k為正數）等來表示正度，它的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形.仍以邊長為4，4，2和邊長為8，8，4的兩個等腰三角形為例.取k=10，用 來計算正度，則邊長為4，4，2的等腰三角形的正度為 =0.1；邊長為8，8，4的等腰三角形的正度為 =0.1.二者相等，表明它們與正三角形的接近程度相同.

（3） 通過對同學乙的方案分析，我們發現還可以從角度入手，用｜α-60°｜，

｜β-60°｜，｜α+β-120°｜， ［2（α-60°）2+（β-60°）2］等來表示正度.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”