利用變式訓練 促進能力提高

由中招命題人員巧妙設計、精心推敲而成的中招試題，以其精準、新穎的特點受到師生們的青睞，若能抓住一些典型題目，深入研究，多進行變式訓練，將能使學生更深刻、更系統地掌握數學知識，培養學生運用數學思想方法分析問題、解決問題的能力.現舉例探討如下.

例題 （2006年德州市中考題）兩個全等的含30°和60°角的三角板ADE和三角板ABC如圖1所示放置，E，A，C三點在一條直線上，連接BD，取BD的中點M，連接ME，MC．試判斷△EMC的形狀，并說明理由．

解：△EMC的形狀是等腰直角三角形．證明如下.

連接AM.由題意可得DE=AC，∠DAE+∠BAC=90°.

∴∠DAB=90°.

又∵DM=MB，所以MA= DB=DM，∠MAD=∠MAB=45°.

∴∠MDE=∠MAC=105°，∠DMA=90°.

∴△EDM≌△CAM.

∴∠DME=∠AMC，EM=MC.

又∠DME+∠EMA=90°，故∠EMA+∠AMC=90°.

∴CM⊥EM.所以△EMC的形狀是等腰直角三角形.

變式1 在圖1中，連接AM得到圖2.已知ME，MC分別交AD，AB于P，Q，連接PQ.

（1） 判斷線段AM與線段BD的位置關系，并說明理由.

（2） 判斷△PMQ的形狀，并說明理由.

（3） 點D，E，A，M是否在同一個圓上？點B，C，A，M呢？

評析： 完成一道題目后，多問幾個為什么，多觀察、多思考，其意義將遠遠超過做題本身.

變式2 在圖2中，令△EMC繞點M旋轉，則通過對圖形運動變化過程的探究，可順利解決下面兩例中招題.

1. （2006年聊城市）如圖3，在等腰Rt△ABC中，P是斜邊BC的中點，以P為頂點的直角的兩邊分別與邊AB，AC交于點E，F，連接EF．當∠EPF繞頂點P旋轉時（點E不與A，B重合），△PEF也始終是等腰直角三角形，請你說明理由．

2. （2007年臨沂市）如圖4（1），已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上（直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF），將直角三角板DEF繞D點按逆時針方向旋轉．

（1） 在圖4（1）中，DE交AB于M，DF交BC于N．

① 證明DM=DN；

② 在這一旋轉過程中，直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN.請說明四邊形DMBN的面積是否發生變化.若發生變化，請說明是如何變化的；若不發生變化，求出其面積.

（2） 繼續旋轉至如圖4（2）的位置，延長AB交DE于M，延長BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

（3） 繼續旋轉至如圖4（3）的位置，延長FD交BC于N，延長ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立？請寫出結論，不用證明．

變式3 在例題中，令三角板BAC繞點A沿順時針方向旋轉（為簡單起見，令旋轉角不大于90°），如圖5.

（1） ∠EM′C′的大小與∠EMC相比是否發生了變化？若發生了變化，說明如何變；若沒有變，說明理由.

（2） 以D，E，A，M′為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，請說出旋轉角；若不能，請說明理由.

評析： 運用運動變化思想，是這幾年中考命題的主軸，我們應注意平時的訓練.

變式4 如圖6，將圖1中三角板AED和ACB分別沿AD，AB翻折至△ADE′，△ABC′，連接ME′，MC′，試判斷△ME′C′的形狀，并說明理由．

變式5 將例題中條件“兩個含30°角的三角板”改為“兩個全等的任意直角三角形紙片”，其他條件不變，如圖7.不妨令∠DAE≤45°，則變式1中的結論是否仍然成立？

評析： 這種放寬條件將結論推廣的問題，也是近幾年中考命題的一個重要方向.

變式6 如圖8（1），直線l過等腰Rt△DAB的直角頂點A，過D，Ｂ分別作DE⊥l于E，BC⊥l于C.

（1） 試判斷△DEA和△BCA是否全等，并說明理由.

（2） 當直線l繞點A沿逆時針方向，由圖8（1）旋轉到如圖8（2）所示位置時，（1）中結論是否成立？為什么？

（3） 在（2）中，連接CD，BE，則在旋轉過程中，以B，C，D，E為頂點的四邊形能成為等腰梯形嗎？為什么？

（4） 試說明在（2）的旋轉過程中，DE2+BC2的值為定值.

評析： 由這道題我們可以看出，有些題目看似相互無關，實際是圖形按一定規則演變的結果.做題時能看透這一點，會快速準確地解答.

綜上可以看出，從題目的條件、結論、背景等方面入手，對原題加以改造創新，既有利于激發學生學習數學的興趣，又使學生在觀察探究中，進一步明晰問題的來龍去脈，優化知識結構，達到事半功倍的學習效果.

變式訓練提示或答案

變式1 （1） 由AM是Rt△DAB斜邊上的中線，可知AM垂直平分線段BD.

（2） △PMQ為等腰直角三角形.證∠PMQ=90°及△DMP≌△AMQ，可得MP=MQ.

（3） 取AD的中點O，則易證OE=OD=OA=OM.同理點B，C，A，M也共圓.

變式2 1. 證明方法同變式1的第（2）小題.

2. （1） ① 連接DB．證△BMD≌△CND或△ADM≌△BDN，可得DM=DN．

② 四邊形DMBN的面積不發生變化.由①知S△BMD =S△CND .

∴S四邊形DMBN =S△DBN +S△DMB =S△DBN +S△DNC =S△DBC = S△ABC = .

（2） DM=DN仍然成立，證明略.

（3） DM=DN仍成立．

變式3 （1） 在旋轉過程中，始終有∠EM′C′=90°.由變式1中第（3）小題知M′，A，E，D四點共圓，∠ADE=∠AM′E.同理M′，A，C′，B′四點共圓，∠AM′C′=∠AB′C′，所以∠EM′C′=∠AM′E+∠AM′C′=∠ADE+∠AB′C′=90°.

（2）能.當旋轉角為30°，即∠DAB′=120°時，易得∠EAM′=90°.又因∠DEA=90°，∠AM′D=90°，所以四邊形DEAM′為矩形.

變式4 △ME′C′為等腰直角三角形，證△ME′D≌△MC′A可得.

變式5 結論仍成立.

變式6 （1） 全等，理由略.

（2） 成立.

（3） 不能.因DE∥BC，若DE=BC，則四邊形BCDE為平行四邊形，不是等腰梯形；若DE≠BC，由DC= ，BE= ，可知DC≠BE.

（4） 在旋轉過程中，有DE2+BC2=DE2+AE2=AD2，由AD為定值，可知DE2+BC2為定值.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”