搭建橋梁 妙破數(shù)列頑癥

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)銜接的橋梁． 數(shù)列既有相對(duì)的獨(dú)立性，又與其他知識(shí)廣泛聯(lián)系，是高考命題重點(diǎn)之一． 不少同學(xué)由于對(duì)有關(guān)知識(shí)點(diǎn)掌握不好，導(dǎo)致對(duì)數(shù)列問(wèn)題沒有系統(tǒng)的分析方法，對(duì)與數(shù)列有關(guān)的試題心里沒底，從而對(duì)數(shù)列問(wèn)題產(chǎn)生恐懼心理． 本文針對(duì)同學(xué)們平時(shí)學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí)存在的弄不懂、記不住、易出錯(cuò)、用不活的癥狀，結(jié)合近幾年各地高考卷與模擬卷中的一些典型數(shù)列試題，演示若干實(shí)用的技巧，并給出突破癥結(jié)的建議．

癥狀一 ＞＞

“橋墩”的構(gòu)建切不住重點(diǎn)

表現(xiàn)對(duì)一些等差（比）數(shù)列基礎(chǔ)試題，要么做不出，要么做出了卻耗時(shí)太多．

癥結(jié)數(shù)列基礎(chǔ)性試題往往要求靈活運(yùn)用等差（比）數(shù)列的定義及性質(zhì)．

突破之道 （1）熟悉處理等差（比）數(shù)列的基本方法，如通項(xiàng)法、遞推法等；（2）熟記等差（比）數(shù)列的性質(zhì)．

例1已知兩個(gè)等差數(shù)列｛an｝和｛bn｝的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且＝，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是（）

A. 2B. 3 C. 4 D. 5

解析：此題目主要是通過(guò)An和Bn的關(guān)系找到的關(guān)系，可以應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解決．由＝得＝，而A2n-1＝（2n－1）·an，B2n-1＝（2n－1）bn，代入上式化簡(jiǎn)得＝7＋（n∈N+），易驗(yàn)證當(dāng)n＝1，2，3，5，11時(shí)，取整數(shù)，所以選D．

癥狀二 ＞＞

難以搭建“橋梁”

表現(xiàn)對(duì)常見形式稍加變化便無(wú)從下手、心慌意亂．

癥結(jié)對(duì)討論過(guò)的一些基本方法（用方程思想處理基本“元”；用函數(shù)圖象研究數(shù)列單調(diào)性；用疊加法、疊乘法處理通項(xiàng)；用逆向相加、錯(cuò)位相減等方法處理求和）未能靈活地遷移、熟練地運(yùn)用．

突破之道嘗試對(duì)相關(guān)的內(nèi)容（等差、等比通項(xiàng)公式，求和公式及常見的處理方法等）自主推導(dǎo)，并體會(huì)這些內(nèi)容在解題過(guò)程中所蘊(yùn)含的方法技巧． 如果有相關(guān)的感悟，應(yīng)及時(shí)記下自己的感悟，并嘗試將自己的想法系統(tǒng)化、規(guī)范化.

例2一個(gè)只有有限項(xiàng)的等差數(shù)列，它的前5項(xiàng)的和為34，后5項(xiàng)的和為146，所有項(xiàng)的和為234，則它的第七項(xiàng)等于（）

A. 22B. 21C. 19D. 18

解析：本題是教材例題的變式，關(guān)鍵是處理基本“元”． 依照已知條件只能列出3個(gè)方程，而所列出的三個(gè)方程涉及四個(gè)未知數(shù)，進(jìn)而思維受阻，無(wú)法進(jìn)展下去，出現(xiàn)“橋梁”斷鏈． 已知條件在數(shù)列中具有一定的對(duì)稱性，所以若考慮將a1＋an作為一個(gè)整體，問(wèn)題就迎刃而解. 設(shè)該數(shù)列有n項(xiàng)且首項(xiàng)為a1，末項(xiàng)為an，公差為d則依題意有5a1+10d=34，（1）

5an-10d=146，（2）

·n=234. （3）由（1）（2）可得a1＋an＝36，并代入（3）得n＝13，從而有a1＋a13＝36． 又所求項(xiàng)a7恰為該數(shù)列的中間項(xiàng)，所以a7＝＝18． 故選D．

癥狀三 ＞＞

難以構(gòu)建“通項(xiàng)”的橋梁

表現(xiàn)由“遞推”求“通項(xiàng)”難于下手，找不到突破口．

癥結(jié)對(duì)典型遞推式的認(rèn)識(shí)缺乏系統(tǒng)總結(jié)．

突破之道歸納總結(jié)常見遞推式的變形技巧，并有意識(shí)地應(yīng)用變形技巧構(gòu)造基本數(shù)列． 對(duì)于遞推式，一般會(huì)用疊加或疊乘的方法；形如an＝pan-1＋q遞推求“通項(xiàng)”，一般先找到一個(gè)適當(dāng)常數(shù)c，構(gòu)建基本數(shù)列｛bn｝（bn＝an－c，以p為公比的等比數(shù)列），且易通過(guò)待定系數(shù)的方法求出c；形如an+1=kan+f（n）的遞推式，需要將f（n）分多項(xiàng)式形式和指數(shù)形式分別掌握；形如an=k·型，應(yīng)該考慮引入數(shù)列｛bn｝，bn＝，然后通過(guò)數(shù)列｛bn｝研究數(shù)列｛an｝；數(shù)學(xué)歸納法也是獲得通項(xiàng)常見的方法．

例3（1）已知數(shù)列｛an｝滿足a1＝5，an+1＝－2an＋6，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)an.

（2）數(shù)列｛an｝滿足a1＝2，而且an+1＝，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)．

解析：（1）屬于 “突破之道”中的第二種類型，注意到an+1－2＝－2an＋4＝ －2（an－2），于是可直接引入數(shù)列｛an－2｝，首項(xiàng)a1－2＝3，公比為q＝－2的等比數(shù)列． 于是利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得an－2＝3·（－2）n-1（n∈N+），即an＝2＋3·（－2）n-1（n∈N+）.

（2）屬于“突破之道”中第四種類型，設(shè)bn＝，求倒數(shù)可得到bn+1＝bn＋，則bn－bn-1＝利用疊加法可以得bn＝1－，進(jìn)而可得an＝．

癥狀四 ＞＞

缺乏對(duì)Sn與an的深刻思考

表現(xiàn)Sn＝f（an）或an＝g（Sn）型遞推關(guān)系不知如何下手．

癥結(jié)對(duì)適用于任意數(shù)列的重要關(guān)系式理解不清楚，未掌握其統(tǒng)一性的作用，進(jìn)而不能靈活運(yùn)用．

突破之道對(duì)于任意數(shù)列｛an｝有S1＝a1，Sn－Sn-1＝an（n≥2），這表明Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an（n∈N+）構(gòu)成了一個(gè)新的數(shù)列｛Sn｝，它的通項(xiàng)Sn表示相應(yīng)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，它的第一項(xiàng)S1表示數(shù)列｛an｝的第一項(xiàng)a1，當(dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列｛Sn｝相鄰項(xiàng)的差Sn－Sn-1＝an，這就是數(shù)列｛an｝與其和數(shù)列｛Sn｝之間最基本而又深刻的關(guān)系． 某些特殊數(shù)列可以圍繞這兩個(gè)數(shù)列通過(guò)適當(dāng)變化（如裂項(xiàng)相消）以后求和，通過(guò)研究新數(shù)列｛Sn｝達(dá)到研究數(shù)列｛an｝的目的．

例4已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn滿足S1＞1，且6Sn＝（an＋1）·（an＋2），n∈N+，求｛an｝的通項(xiàng)公式．

解析：令n＝1，得6a1＝a＋3a1＋2，解得a1＝2（注意條件a1=S1＞1，舍去a1＝1）；若n≥2，則由6Sn＝（an＋1）（an＋2）得6Sn-1＝（an-1＋1）（an-1＋2），n≥2． 兩式相減得6an＝（an＋1）（an＋2）－（an-1＋1）（an-1＋2），n≥2，整理即得（an＋an-1）（an－an-1）＝3（an＋an-1）. 由題意有an＞0（n∈N+），an－an-1＝3（n≥2）． 于是數(shù)列｛an｝是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，則an＝3n－1（n∈N+）．

注:對(duì)于一般數(shù)列{an}，若已知條件為Sn＝f（an），求通項(xiàng)an的方法，除了用“觀察—發(fā)現(xiàn)—猜想—證明”的思維模式，還可以采用其他的處理方法． 由Sn＝f（an）首先推出S1＝a1＝f（a1），解出S1＝a1的大小，接著常有兩個(gè)思考方向． 當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝f（Sn－Sn-1），問(wèn)題轉(zhuǎn)化為處理Sn與Sn-1（n≥2）的關(guān)系（前面已求出S1）. 求出Sn之后，可以用a1＝S1，an＝Sn－Sn-1（n≥2）求出數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)． 利用遞推關(guān)系作差的方法也常用，由Sn＝f（an）得Sn-1＝f（an-1）（n≥2），an＝Sn－Sn-1（n≥2），兩式相減即得an＝f（an）－f（an-1），于是我們就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為處理an與an-1之間的關(guān)系了． 一般情況下，轉(zhuǎn)化到單一的數(shù)列問(wèn)題后就比較容易解決了．

癥狀五 ＞＞

不擅長(zhǎng)跨知識(shí)板塊

表現(xiàn)在解決數(shù)列綜合問(wèn)題時(shí)往往放棄不管或因?yàn)槲冯y而不敢下手．

癥結(jié)對(duì)數(shù)列認(rèn)識(shí)不足或者未理解數(shù)列中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想．

突破之道從數(shù)學(xué)思想方面真正理解數(shù)列的實(shí)質(zhì)，歸納數(shù)列與其他知識(shí)的結(jié)合點(diǎn)，熟悉常見知識(shí)板塊的交匯點(diǎn)． 比如根據(jù)數(shù)列是離散的函數(shù)可以結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合不等式，將不等式與數(shù)列有機(jī)結(jié)合． 根據(jù)數(shù)列離散性質(zhì)可以結(jié)合解析幾何中的點(diǎn)、排列組合中的二項(xiàng)式等等．

例5已知二次函數(shù)y＝f（x）的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f ′（x）＝6x－2，數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)（n，Sn）（n∈N+）均在函數(shù)y＝f（x）的圖象上．

（Ⅰ）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)bn＝，Tn是數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和，求使得Tn＜對(duì)所有n∈N+都成立的最小正整數(shù)m.

解析：（Ⅰ）本題已知條件包含了函數(shù)條件，可以將（n，Sn）（n∈N+）納入函數(shù)范疇，使數(shù)列與函數(shù)有機(jī)結(jié)合，此為數(shù)列與函數(shù)結(jié)合起來(lái)的常見途徑． 可設(shè)出二次函數(shù)f（x）＝ax2＋bx（a≠0），則f ′（x）＝2ax＋b，由于f ′（x）＝6x－2，得a＝3，b＝－2，可以得到f（x）＝3x2－2x. 由于點(diǎn)（n，Sn）（n∈N+）均在函\\高中數(shù)學(xué)金刊12期\\金.tif>