透析不等式的薄弱環節

不等式是研究數學的重要工具，是學習高等數學的重要工具，也是培養推理證明能力的重要工具． 不等式在生產實踐和相關學科的學習中應用廣泛． 不等式滲透在高中數學的各個部分，與函數、數列、三角、解幾、立幾等都有密切關系． 不等式還是思想的載體，凸顯了等價轉換、函數與方程、分類討論、數形結合等思想方法． 不等式是高考重點考查內容之一，同時也是同學們感覺毫無定式的薄弱環節． 本文針對同學們在不等式學習中的薄弱環節進行分析，然后有針對性地提出解決辦法．

癥狀一 ＞＞

不會辯證看待取等條件

表現基本不等式應用中兩式（或數）之積、和平方及平方和這三者之間的互化與等號成立的條件沒有系統考慮，不能靈活看待不等式等號成立條件．

癥結熟練應用均值定理中等號成立的條件不僅能完善我們的解答，而且對啟發和明確我們的解題思路有很好的指引作用. 在實際解題中重點研究的問題往往是根據等號成立的條件對不等式變形與對代數式強行配湊．

突破之道對等號成立的應用，常見解題策略有四個． ①根據結論中等號成立的條件來湊配合理的平均數；②根據結論中等號成立的條件使用均值定理，不要局限于只使用一次；③根據結論中等號成立的條件來指引解題思路；④根據結論中等號成立的條件來合理而又簡潔地表達解答過程．

例1已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求證：

＋1

＋1

＋1≥64．

解析：易探知當且僅當a＝b＝c＝時，結論取“＝”． 因為a，b，c∈R+，a＋b＋c＝1，所以＋1＝＋1＝2＋＝2＋＋． 同理有＋1＝2＋＋，＋1＝2＋＋. 此時很容易想到對上面三式都使用三元均值不等式化和為積消去字母，但由2＋＋≥ 3知當且僅當2＝＝時取等號，這與結論中”＝”成立的條件a＝b＝c＝矛盾，故此路不通．

若將上面三因式之積展開再使用二元均值不等式又很繁瑣，若能充分利用結論中“＝”成立的條件a＝b＝c＝的導向作用，則可將上面證明思路調整為＋1＝2＋≥2+＝ 21

＋≥2·2，同理有＋1≥2·2，＋1≥2· 2，等號成立的條件都是a＝b＝c＝，這與結論中等號成立的條件保持一致，又由于都是正數，故將這三式累乘即可．

癥狀二 ＞＞

不能區別恒成立與有解

表現將不等式的恒成立問題與不等式有解問題混淆．

癥結理解不等式恒成立與有解過程中往往會將上下界搞顛倒，其主要原因是對該類問題的推理與分析沒有到位．

突破之道不等式恒成立和有解有明顯區別. 以下充要條件應細心思考，甄別差異，恰當使用，等價轉化．

1． 不等式f（x）＜k在x∈I時恒成立#8660;fmax（x）＜k，x∈I或f（x）的上確界小于或等于k；

注：若f（x）在x∈I時的值域為開區間（a，b），則稱b為f（x）的上確界，a為f（x）的下確界．

2． 不等式f（x）＜k在x∈I時有解#8660;fmin（x）＜k，x∈I或f（x）的下確界小于k；

3． 不等式f（x）＞k在x∈I時恒成立#8660;fmin（x）＞k，x∈I或f（x）的下確界大于或等于k；

4． 不等式f（x）＞k在x∈I時有解#8660;fmax（x）＞k，x∈I或f（x）的上確界大于k．

例2設x＝3是函數f（x）＝（x2＋ax＋b）e3－x，x∈R的一個極值點．

（Ⅰ）求a與b的關系（用a表示b），并求f（x）的單調區間；

（Ⅱ）設a＞0，g（x）＝a2

＋ex，若存在ξ1，ξ2∈［0，4］，使得f（ξ1）－g（ξ2）＜1成立，求a的取值范圍．

解析：（Ⅰ）f ′（x）＝－［x2＋（a－2）x＋b－a］e3－x，由f ′（3）＝0得b＝－2a－3． 故f（x）＝（x2＋ax－2a－3）e3－x． 因為f ′（x）＝－［x2＋（a－2）x－3a－3］e3－x＝－（x－3）（x＋a＋1）e3－x，由f ′（x）＝0得x1＝3，x2＝－a－1． 由于x＝3是f（x）的極值點，故x1≠x2，即a≠－4． 當a＜－4時，x1＜x2，故f（x）在（－∞，3］上為減函數，在［3，－a－1］上為增函數，在［－a－1，＋∞）上為減函數． 當a＞－4時，x1＞x2，故f（x）在（－∞，－a－1］上為減函數，在［－a－1，3］上為增函數，在［3，＋∞）上為減函數．

（Ⅱ）若存在ξ1，ξ2∈［0，4］，使得f（ξ1）－g（ξ2）＜1成立，即不等式f（ξ1）－g（ξ2）＜1在ξ1，ξ2∈［0，4］上有解，于是問題轉化為f（ξ1）－g（ξ2）min＜1，由于兩個不同自變量取值的任意性，因此首先要求出f（ξ1）和g（ξ2）在［0，4］上的值域． 因為a＞0，則－a－1＜0，由（Ⅰ）知f（x）在［0，3］遞增；在［3，4］遞減． 故f（x）在［0，4］上的值域為［min｛f（0），f（4）｝，f（3）］＝［－（2a＋3）e3，a＋6］，而g（x）＝a2

＋ex在［0，4］上顯然為增函數，其值域為a2＋

， a2

＋e4． 因為a2＋－（a＋6）＝a

－≥0，所以a2＋≥（a＋6）．f（ξ1）－g（ξ2）min＝a2＋－（a＋6）． 解a2＋

－（a＋6）＜1，

a＞0，得0＜a＜． 故a的取值范圍為0，

．

癥狀三 ＞＞

缺乏整體意識

表現不等式證明過程中不能把某一相關的代數塊看作一個整體．

癥結整體意識不強，解題過程中不能對整體的結構產生聯想與遷移．

突破之道在解答某些不等式的問題時，若將題設或結論視為整體，通過對整體結構的調整或轉化，可以收到簡化運算、降低思維難度、縮短推證過程的功效．

例3已知x，y，z∈R＋，求證：＋＋≤．

解析：在證明分式不等式時，如果分母是多項式，可將分母視為一個整體，這將有利于問題的解決． 設2x＋y＋z＝a，

例4已知m為實數，x＞0，y＞0，x＋y＜π，求證：m（m－1）sin（x＋y）＋m（sinx－siny）＋siny＞0．

解析：由條件知，存在一個z＞0，使得x＋y＋z＝π，于是構造一個三角形，借助三角形整體作用解決問題． 構造△ABC，使其外接圓直徑為1，三內角為x，y，z，且x，y，z的對邊分別為a，b，c．由正弦定理知需證的不等式m（m－1）·c＋m（a－b）＋b＞0，即cm2＋（a－b－c）m＋b＞0. 因c＞0且Δ＝（a－b－c）2－4bc＝a2＋b2＋c2－2ab－2ac－2bc＝（a2－ab－ac）＋（b2－bc－ba）＋（c2－ca－cb）＝a（a－b－c）＋b（b－c－a）＋c（c－a－b）＜0，故cm2＋（a－b－c）m＋b＞0恒成立，即原不等式成立．

癥狀四 ＞＞

忽略不等式的建模

表現對不等式條件應用不靈活，處理與解決不等式問題時無法“優化”到位．

癥結不會將不等式局部結構特征轉換為各對應的結構，沒有對不等式的本原及內涵深入探究與挖掘．

突破之道不等式的建模在解決數學問題中極富創造性． 其實質就是深入分析不等式的結構特征和內在規律，綜合各知識板塊，構建一個與原不等式命題密切相關的數學模型，并在該模型下進行轉化，使問題迅速獲得解決． 重視不等式建模思想的挖掘與滲透，不僅可以在不等式方面獲得新穎、獨特、簡捷的思考方式，而且可以使同學們避免“題海”困擾，讓同學們跳出“題海”．

例5若a，b，c＞0且a（a＋b＋c）＋bc＝4－2，則2a＋b＋c的最小值為（）

A． －1B． ＋1

C． 2＋2 D． 2－2

，故2a＋b＋c的最小值為2－2． 選D．