攻克解析幾何的堡壘

解析幾何具有代數形式與幾何形式，是聯系各知識板塊的極為重要的工具，是代數知識與幾何知識的交匯產物. 高考數學往往在知識板塊的交匯處設計試題，突出考查同學們的數學能力. 解析幾何方面的試題體現了高考命題改革方向和創新趨勢. 解析幾何試題的新穎度、靈活度和難度都較大，以致同學們普遍感到不適應. 解析幾何是大多數同學難以攻克的一座堡壘. 筆者就學習解析幾何過程中經常遇到的四大癥結，有針對性地總結攻克策略和方法.

癥狀一 ＞＞

運算能力不過關

表現涉及直線和圓錐曲線的計算經常算不到底，越算越復雜．

癥結尚未熟練掌握直線和圓錐曲線中基本量的性質，經常無法正確應用相關數學公式．

突破之道解析幾何問題通常計算量比較大，因為除了本身計算量大以外，還會涉及其他數學公式． 只有熟練掌握直線方程的斜率k及截距b，圓的圓心及半徑r，橢圓和雙曲線中的a，b，c，e，準線，焦半徑及拋物線中的p等基本量的性質，并熟記相關公式及結論，才能攻克解析幾何．

例1雙曲線的中心為原點O，焦點在x軸上，兩條漸近線分別為l1，l2，經過右焦點F垂直于l1的直線分別交l1，l2于A，B兩點． 已知

，

，

成等差數列，且與同向．

（Ⅰ）求雙曲線的離心率；

（Ⅱ）設AB被雙曲線所截線段長為4，求雙曲線的方程．

解析：（Ⅰ）設OA＝m－d，AB＝m，OB＝m＋d． 由勾股定理可得（m－d）2＋m2＝（m＋d）2，所以d＝m． tan∠AOF＝，tan∠AOB＝tan（2∠AOF）＝＝． 由倍角公式得＝，解得＝，所以離心率e＝．

（Ⅱ）過F直線方程為y＝－（x－c），與雙曲線方程－＝1聯立，并將a＝2b，c＝b代入，化簡得x2－x＋21＝0． 所以由所截線段長度為4可得到4＝x1-x2＝，結合韋達定理可得4＝，所以b＝3． 故所求的雙曲線方程為－＝1．

難于處理知識交匯點

表現遇到解析幾何與其他知識交匯的問題不知如何下手．

癥結解析幾何與其他知識點（向量、數列、不等式、立體幾何、導數等）交匯的問題靈活度大，不能達到熟練運用各個知識點的境界．

突破之道關注解析幾何與其他知識點綜合的常見類型，掌握通性通法．

例2在直角坐標系xOy中，點P到兩點（0，－），（0，）的距離之和等于4，設點P的軌跡為C，直線y＝kx＋1與C交于A，B兩點．

（Ⅰ）寫出C的方程；

（Ⅱ）若⊥，求k的值；

而y1y2＝k2x1x2＋k（x1＋x2）＋1，于是x1x2＋y1y2＝－－－＋1＝0，化簡得－4k2＋1＝0，所以k＝±．

（Ⅲ）

2－

2＝x＋y－（x＋y）＝（x-x）＋［（kx1＋1）2－（kx2＋1）2］＝（x1－x2）［（x1＋x2）（k2＋1）＋2k］＝（x1－x2）·． 因為A在第一象限，故x1＞0． 由x1x2＝ －知x2＜0，從而x1－x2＞0． 又k＞0，故

癥狀三 ＞＞

不注重數學思想的應用

表現遇到需要靈活運用常用數學思想解決解析幾何問題時不知所措．

癥結基本數學思想掌握不牢固或不能將這些數學思想融入實際的解析幾何問題中．

突破之道與圓錐曲線有關的問題，基本上融合了高中數學里四種基本數學思想（轉化與化歸思想、數形結合思想、分類討論思想及函數與方程思想）． 在思考解析幾何問題，要有意識地聯想基本數學思想，并能依問題的不同選擇不同數學思想．

例3已知中心在原點的雙曲線C的一個焦點是F1（－3，0），一條漸近線的方程是x－2y＝0．

（Ⅰ）求雙曲線C的方程；

（Ⅱ）若以k（k≠0）為斜率的直線l與雙曲線C相交于兩個不同的點M，N，且線段MN的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求k的取值范圍．

解析：（Ⅰ）略．

（Ⅱ）設直線l的方程為y＝kx＋m（k≠0）． 點M（x1，y1），N（x2，y2）的坐標滿足方程組y＝kx＋m，

－

＝1，消去變量y并整理得（5－4k2）x2－8kmx－4m2－20＝0． 此方程有兩個實根，于是5－4k2≠0，且Δ＝（－8km）2＋4（5－4k2）（4m2＋20）＞0． 整理得m2＋5－4k2＞0． ①

由根與系數的關系可知線段MN的中點坐標（x0，y0）滿足x0＝＝，y0＝kx0＋m＝．

從而線段MN的垂直平分線方程為y－＝－x-

將上式代入①式得＋5－4k2＞0，整理得（4k2－5）（4k2－k

邏輯運算能力不強

表現涉及聯想、推理、代數論證等邏輯運算的問題無從下手．

癥結缺乏系統分析問題和解決問題的能力和邏輯推理能力．

突破之道開闊思路，發散思維，并熟練掌握觀察、比較、類比、聯想、猜想等帶有非邏輯思維成分的推理，同時借助邏輯思維，進行嚴格推理論證，這兩種推理的靈活運用，兩種思維成分的交織融合，便是處理這類問題的基本思想方法和解題策略．

例4設b＞0，橢圓方程為＋＝1，拋物線方程為x2＝8（y－b）． 如圖1所示，過點F（0，b＋2）作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為G，已知拋物線在點G的切線經過橢圓的右焦點F1．

（Ⅰ）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；

（Ⅱ）設A，B分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點P，使得△ABP為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）．

[y][x][F][G][F1][B][A][O]

只有一個．

若以∠APB為直角，設P點坐標為x，

得△ABP為直角三角形．