跨越三角函數的羈

三角函數是函數理論的重要組成部分，它不僅具備一般函數的特點：概念抽象、表示高度形式化、內容繁多、滲透的數學思想豐富、與其他數學知識聯系緊密，而且還具有自身所獨有的特點，如公式眾多、變換靈活等，因此需要記憶和理解的東西也很多. 不少同學覺得這部分內容掌握起來比較困難，原因就在于沒有抓住三角函數的本質特征，沒有體會到它的函數思想. 筆者現對同學們學習三角函數時的五種癥狀進行分析，有針對性地提出解三角函數題的突破方法.

癥狀一 ＞＞

忽視隱含條件的挖掘

表現思維不嚴謹，經常忽視隱含條件，導致解題失誤（如求角的值時，通常把角的范圍搞錯，出現漏解或增解的情況），久而久之便對解數學題產生抵觸情緒.

癥結只顧運算，不善于歸納總結題型，從而忽視了對隱含的約束條件的挖掘.

突破之道在審題時一定要對隱含條件進行充分挖掘（如在解決三角函數求值問題時，盡可能把角的范圍縮小一些），思維要嚴謹，養成正確的解題習慣，這樣才能做到準確無誤.

例1已知tanα，tanβ是方程x2＋3x＋4＝0的兩根，若α，β∈

－

，，則α＋β＝（）

A.B. 或－

C. －或 D. －

解析：根據題意及韋達定理有tanα＋tanβ＝－3，且tanαtanβ＝4，可得tanα＜0，tanβ＜0，所以α，β∈

－，0，α＋β∈（－π，0）. 又tan（α＋β）＝＝＝，所以α＋β＝－，故答案為D.

缺乏觀察能力

表現當已知量和未知量涉及多個角時，不知從何處下手.

癥結觀察能力不強，且代數式的恒等變形能力較弱.

突破之道平時要加強觀察能力的培養，解題時要充分尋找角與角之間隱含的關系，并對已知式和欲求式進行恰當的變形，構造出能利用三角公式的式子.

例2已知0＜α＜，＜β＜，sin

求：（Ⅰ）sin（α＋β）；

（Ⅱ）sin（α－β）.

解析：因為0＜α＜，所以＜＋α＜，由sin

只顧后，不瞻前

表現當出現多個三角函數時，往往只注意結論式子中三角函數的取值范圍，將題設條件遺忘了.

癥結解題時不夠仔細，對相關性質的運用沒能形成條件反射，這也是相關知識沒有融會貫通的表現.

突破之道在求含有多個三角函數代數式的值域時，對已知條件和欲求代數式中出現過的三角函數的范圍都要進行認真的計算，不留隱患.

例3已知sinx－siny＝，求z＝cos2y＋2sinx的最大值和最小值.

解析：由已知條件得sinx＝siny＋，代入z的表達式中得z＝1－sin2y＋ 2siny

＋＝－（siny－1）2＋，因為siny∈［－1，1］，且sinx∈［－1，1］，從而siny＋∈［－1，1］，所以siny∈－1，

. 所以當siny＝－1時，zmin＝ －；當siny＝時，zmax＝.

癥狀四 ＞＞

缺乏數形結合的意識

表現未能想到要根據文字語言、數學符號語言畫出相應的數學圖形，并且不善于在圖形中尋找需要的信息.

癥結不清楚三角函數及其有關方程與三角函數圖象之間的緊密聯系，缺乏數形結合的意識.

突破之道牢記“數缺形時少直覺，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事非”（華羅庚語）的道理，培養文字、數學符號語言與圖形語言之間相互轉化的能力，自覺形成數形結合的思想意識.

例4若方程sinx＋cosx＝a在x∈［0，2π］上有兩個不同的實根x1，x2，求a的取值范圍及此時x1＋x2的值.

解析：利用方程的思想，a的取值范圍即為函數y＝sinx＋cosx在x∈［0，2π］上與y＝a有兩個交點時的范圍，故只要作出函數圖象，利用數形結合的思想即可解決問題.

設y＝sinx＋cosx＝2sinx＋

，x∈［0，2π］，在同一平面直角坐標系中作出y＝a與y＝2sinx＋

（其中x∈［0，2π］）的圖象（如圖1）. 從圖象上可以看出，當1＜a＜2或－2＜a＜1時，兩圖象有兩個交點，即方程sinx＋cosx＝a在x∈［0，2π］上有兩個不同的實根時a的取值范圍是（1，2）∪（－2，1）. 又根據圖象的對稱性知，當1＜a＜2時，x1＋

＋x2＋

＝，故x1＋x2＝；當－2＜a＜1時，x1＋

＋x2＋

＝，所以x1＋x2＝.

[O][2][-2][][2π][y][x][1]

圖1

癥狀五 ＞＞

公式的綜合應用不靈活

表現面對眾多的三角函數公式（如正弦定理、倍角公式、輔助角公式等），不知該如何選擇，即使選了也不能對公式進行靈活的變形應用.

癥結認為只要記住公式就行了，忽視了對公式應用條件的掌握，不知道該如何逆用和變形使用如此多的三角函數公式.

突破之道平時要有意識地對公式進行各種變形訓練，掌握公式及其變形式子的結構特點和應用條件，這樣在具體的數學情境中才能靈活地選擇和應用公式.

例5在△ABC中，已知AC＝2，BC＝3，cosA＝－.

（Ⅰ）求sinB的值；

（Ⅱ）求sin2B

解析：（Ⅰ）在△ABC中，sinA＝＝＝，由正弦定理＝，可得sinB＝sinA＝×＝.

（Ⅱ）因為cosA＝－，所以∠A為鈍角，從而∠B為銳角，于是cosB＝＝，cos2B＝2cos2B－1＝，sin2B＝2sinBcosB＝，故sin2B

＋＝sin2Bcos＋cos2Bsin＝.

例6已知函數f（x）＝－4cos2x＋ 4sinxcosx＋5（x∈R）.

（Ⅰ）求f（x）取得最大值時x的集合；

（Ⅱ）求f（x）的單調遞增區間.

解析：由于f（x）＝－4×＋2sin2x＋5＝2sin2x－2cos2x＋3＝4sin2x

（Ⅰ）當sin2x

－＝1時， f（x）取得最大值，這時2x－＝2kπ＋（k∈Z），即x＝kπ＋（k∈Z），所以使f（x）取得最大值時x的集合為｛x

x＝kπ＋，k∈Z｝.

（Ⅱ）由2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z）得，kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），所以f（x）的單調遞增區間為kπ－

＋（k∈Z）.