特別聚焦：２００８年全國高考數學（文科卷Ⅰ）

總攬全局

2008年全國數學文科卷Ⅰ試題以為高校選拔人才為目的，以考查基礎知識、基本技能、基本思想和方法為宗旨，注重對運用數學知識分析和解決問題的能力的考查． 本套試題突出考查數學思想和方法：如第2、10、14、15、22題考查了數形結合的思想方法；對函數思想的考查主要集中在研究函數的性質、最值、圖象、反函數等方面，如第2、13、21題；對方程思想的考查主要體現在計算求值等方面，如第7、8題；對分類討論思想的考查主要體現在對參數的討論等方面，如第21題． 本套試題深化能力立意，重視創新意識：如第11、16、18題考查空間想象能力與邏輯推理能力；第2、20題考查閱讀理解能力和數學實踐創新能力；第12、21題考查嚴密的推理能力．

變化之處

本套試題總體上保持穩定，但也有一定的變化：（1）近幾年高考對集合交、并、補的考查多采用直接方式，而這次考試是把求交集的運算融入函數定義域的求解過程中；（2）取消了對簡易邏輯的考查；（3）取消了對指、對數函數單調性、最值的考查，保留了指、對數的基本運算，體現了文理差異；（4）取消了對均值不等式的考查；（5）增加了對高次函數求導的考查比例，如第4、21題；（6）增加了解析幾何所占的比重，如第10、14、15、22題分別對直線與圓、拋物線、橢圓、雙曲線的基本性質進行了考查．

創新盤點

第2題以汽車行駛問題為切入點考查路程與時間的函數關系，要求同學們具有較強的閱讀理解能力和抽象概括能力． 第20題是一道常規的概率問題，但它對事件的分析要求更透徹，更深入． 解題時，我們要使用逆向思維，先求對立事件的概率，再根據題目，合理地確定滿足條件的基本事件．

命題趨勢

高考試題無論怎樣變化，均是以教學大綱為出發點，考查同學們對高中內容掌握的情況． 試題強化主干知識，強調通解通法，淡化特殊技巧，注重考查思維能力及數學的應用意識，盡可能給同學們提供展現創新意識的空間．

從選擇題、填空題來看：（1）集合的基本運算、簡易邏輯的基本知識、二項式定理的簡單應用、統計初步這些內容常以基礎題的形式出現；（2）函數的基本性質，等差、等比數列的基本性質，不等式的基本性質與解法，解析幾何的基本性質，立體幾何的基礎知識（角、距離），三角與向量的基本運算通常以中檔題的形式出現；（3）函數與不等式、三角與向量、解析幾何（直線與圓錐曲線的位置關系）、立體幾何的綜合應用、排列與組合等試題的背景會更新，難度會更大．

從解答題看：（1）三角函數主要考查基本運算、基本性質、正余弦定理，屬于基礎題． （2）概率問題以考查等可能事件、互斥事件、獨立重復試驗為主，背景新穎，需在理解題意基礎上轉化為適當的數學模型來求解，故要求我們平時應注重實際問題與數學問題的轉化，理解各種概型的不同表現方式． （3）立體幾何通常為中檔題，對角（二面角、異面直線所成的角），距離（點面距離、異面直線間的距離）的考查較多，同時也伴有位置關系（線線平行或垂直、面面平行或垂直）的證明，有時也會出現圖形的折疊、展開問題，對空間想象能力的要求較高． 向量法會使角度、距離的求解變得簡單，但對計算能力的要求更高，使用向量法的前提是建立合適的空間直角坐標系，所以怎樣建系在平時的練習過程中應該明確，不宜在考場上臨時選擇自己不熟悉的方法． （4）后三道題是綜合性題目，通常涉及函數、數列、不等式、解析幾何等內容． 綜合題中函數通?？疾楦叽魏瘮?，通過求導來研究函數單調性、極值、最值，亦可求參數范圍、證明不等式等；數列考查通性通法（求數列的通項，前n項和）和運算能力，綜合性沒有理科試題那么強，體現了文理差異；解析幾何是文科試題的壓軸之作，圓錐曲線的幾何性質、直線與圓錐曲線的位置關系、點的軌跡是主要的考查內容．

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．

1． 函數y=+的定義域為（）

A． ｛x|x≤1｝ B． ｛x|x≥0｝

C． ｛x|x≥1或x≤0｝ D． ｛x|0≤x≤1｝

2． 汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程s看作時間t的函數，其圖象可能是（）

[s][s][s][s][t][t][t][t][O][O][O][O][A B][C D]

3．

1+5的展開式中x2的系數為（）

A． 10B． 5C． D． 1

4． 曲線y=x3－2x＋4在點（1，3）處的切線的傾斜角為（）

A． 30°B． 45° C． 60°D． 120°

5． 在△ABC中，＝c，＝b． 若點D滿足＝2，則等于（）

A． b＋c B． c－b

C． b－c D． b＋c

6． y＝（sinx－cosx）2－1是（）

A． 最小正周期為2π的偶函數

B． 最小正周期為2π的奇函數

C． 最小正周期為π的偶函數

D． 最小正周期為π的奇函數

7． 已知等比數列｛an｝滿足a1+a2=3，a2+a3=6，則a7等于（）

A． 64B． 81 C． 128 D． 243

8． 若函數y＝f（x）的圖象與函數y＝ln＋1的圖象關于直線y＝x對稱，則f（x）等于（）

A． e2x－2B． e2xC． e2x+1D． e2x+2

9． 為得到函數y=cosx

+的圖象，只需將函數y=sinx的圖象（）

A． 向左平移個長度單位

B． 向右平移個長度單位

C． 向左平移個長度單位

D． 向右平移個長度單位

10． 若直線＋＝1通過點M（cosα，sinα），則（）

A． a2＋b2≤1B． a2＋b2≥1

C． ＋≤1D． ＋≥1

11． 已知三棱柱ABC－A1B1C1的側棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC內的射影為△ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于（）

A．B．C．D．

12． 將1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都沒有重復數字，圖1是一種填法，則不同的填寫方法共有（）

A． 6種B． 12種C． 24種D． 48種

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．

13． 若x，y滿足約束條件x＋y≥0，

x－y＋3≥0，

0≤x≤3， 則z＝2x－y的最大值為__________．

14． 已知拋物線y＝ax2－1的焦點是坐標原點，則以拋物線與兩坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為_______．

15． 在△ABC中，∠A=90°，tanB=． 若以A，B為焦點的橢圓經過點C，則該橢圓的離心率e=________．

16．已知菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，沿對角線BD將△ABD折起，使二面角A－BD－C為120°，則點A到△BCD所在平面的距離等于________．

三、解答題：本大題共6小題，共70分．

17． （本小題滿分10分）

設△ABC的內角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且acosB=3，bsinA=4．

（Ⅰ）求邊長a；

（Ⅱ）若△ABC的面積S=10，求△ABC的周長l．

18． （本小題滿分12分）

如圖2，四棱錐A－BCDE中，底面BCDE為矩形，側面ABC⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝，AB＝AC．

[B][A][D][E][C]

圖2

（Ⅰ）證明：AD⊥CE；

（Ⅱ）設側面ABC為等邊三角形，求二面角C－AD－E的大?。?/p>

19． （本小題滿分12分）

在數列｛an｝中，a1=1，an+1=2an+2n．

（Ⅰ）設bn=． 證明：數列｛bn｝是等差數列；

（Ⅱ）求數列｛an｝的前n項和Sn ．

20． （本小題滿分12分）

已知5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的動物． 血液化驗結果呈陽性的即為患病動物，呈陰性即沒患?。?下面是兩種化驗方案：

方案甲：逐個化驗，直到能確定患病動物為止．

方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗．若結果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只，然后再逐個化驗，直到能確定患病動物為止；若結果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗．

求依方案甲所需化驗次數不少于依方案乙所需化驗次數的概率．

21． （本小題滿分12分）

已知函數f（x）＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R．

（Ⅰ）討論函數f（x）的單調區間；

（Ⅱ）設函數f（x）在區間

－，

－內是減函數，求a的取值范圍．

22． （本小題滿分12分）

雙曲線的中心為原點O，焦點在x軸上，兩條漸近線分別為l1，l2，經過右焦點F垂直于l1的直線分別交l1，l2于A，B兩點．已知

，

，

成等差數列，且與同向．

（Ⅰ）求雙曲線的離心率；

（Ⅱ）設AB被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程．

參考答案見P62