惠更斯及其碰撞理論
2008-04-29 00:00:00李丹韓靜
物理教學探討 2008年15期
摘要：本文著重討論了碰撞問題的研究背景及惠更斯在當時的歷史條件下如何推導物體發生彈性碰撞時動能守恒。惠更斯為碰撞理論的建立對力學的發展做出了突出的貢獻。
關鍵詞：惠更斯；彈性碰撞；動能守恒
中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A文章編號：1003-6148(2008)8(S)-0003-5
1 惠更斯的生平
惠更斯（Christiaan Huygens，1629-1695）1629年4月14日生于荷蘭海牙，1695年7月8日卒于海牙。（圖1）他是17世紀著名的物理學家、數學家、天文學家，在望遠鏡制造、土星觀測、碰撞理論以及在擺的研究等眾多領域做出貢獻，并最早觸及波動光學理論。
惠更斯出生在荷蘭一個貴族家庭，惠更斯的祖父和父親都曾為奧蘭治（Orange）王室服務多年，很重視子孫在文學、藝術、外語和自然科學方面的教育與培養。
1645年，16歲的惠更斯進入萊頓大學學習法律和數學， 1647年3月到1649年8月，惠更斯在布雷達大學學習法學。此后一直到1666年，惠更斯除了三次去巴黎和倫敦旅行外，一直居住在荷蘭。這段時間也是惠更斯多產的黃金時代，他在數學、流體靜力學、彈性碰撞、幾何光學、制作透鏡和改革望遠鏡（見圖2）等方面都有成績。1655年，他憑借自制的望遠鏡發現土星除土星環外還有一顆伴星（見圖3），并命名為泰坦（Titan），即土衛六。次年確定了獵戶座大星云的恒星組成。這些成績讓他在歐洲享有盛譽。1658年制成用擺來控制時間的擺鐘，并有以其結構和原理為內容的Horologium（擺鐘）一文發表。
1663年惠更斯被聘為英國皇家科學院院士，1666年被聘為法國皇家科學院的籌建成員。1666年-1681年惠更斯一直住在巴黎，此間他與德國著名數學家哲學家萊布尼茨（G#8226;W#8226;Leibniz，1646-1716）結識，并終生與之為友。
1681年惠更斯由于重病返回荷蘭治療，之后一直居住在海牙的霍夫衛克（Hofwick）?；莞菇K生未婚，生命的最后階段陷入孤寂與憂郁，1695年7月8日辭世?；莞沟某晒?、通信、論文等匯編成一套22卷《惠更斯全集》，由荷蘭皇家科學院出版，這項工作從1885年開始，1950年完成，歷時66年。
在惠更斯眾多的科學工作中，本文著重討論惠更斯有關碰撞問題的研究。
2 惠更斯與碰撞問題研究
2.1 碰撞問題研究背景
兩個主題貫穿在17世紀的科學之中。一個主題是通過機械論哲學得以表現，極力從自然哲學體系中剔除所有帶有神秘色彩的內容，第二個主題的歷史可以追溯到畢達哥拉斯學派，這一主題注重對各種現象進行精確的數學描述。［1］
17世紀的人們相信運動來源于上帝，是上帝創造了物質并使其處于運動之中，慣性原理是機械論哲學的基礎，因此就不需要任何東西來保持物體的運動。只有在物體發生碰撞時，運動才會從一個物體傳遞到另一個物體，而運動本身是不滅的，因此碰撞問題至關重要。
伽利略在1638年的《兩門新科學的對話》里試圖討論碰撞問題。在第四天的對話里，薩格雷多（Sagredo）對于重錘下落能產生巨大的力表示吃驚，薩爾維阿蒂（Salviati）說他的朋友（伽利略）對這個問題花了大量的時間研究，并以新的觀點解決了這個問題，而且答應在以后的討論中將對這個問題進行解釋。但最后，并未對此問題繼續討論，這是惠更斯研究碰撞問題的一個起源?；莞瓜矚g解決經典著作中未解決的問題。［2］
1639年，捷克的科學家馬爾西（Marci von Kronland，Johannes Marcus，1595-1667）曾對彈性碰撞進行研究，寫成De proportion moutus。他描述了一系列的實驗，但是由于他沒有精確測量實驗球體的大小或重力，以及它們的運動方向和速度，所以馬爾西并沒有給出一般的碰撞公式。他僅僅以大的、小的，同樣大小來描述實驗球體，雖然有很多缺點，但是他的定性結論一般是正確的。
笛卡爾在他1644年的《原理》里提出過八條碰撞定理，但是這些定理大多是不正確的或者表述不清楚的。例如命題四這樣敘述：如果物體C大于物體B，那么不管B以什么速度撞C，都不可能使C運動，B的速度越大，C的阻力也越大。笛卡爾沒有認識到速度是有方向的，也沒有分清彈性體和非彈性體的問題。由于不同意笛卡爾的理論，也促使惠更斯研究碰撞問題。［3］
1668年，英國皇家學會要求一些會員研究碰撞問題，用來彌補力學原理在這方面的不足。沃利斯、雷恩、惠更斯三個人按各自的方式進行了研究。沃利斯主要考察了非彈性體沿它們重心連線運動時的碰撞，他的論文發表在皇家學會的Phil.Trans，Vol ⅢNo.43(見圖4)。文中指出，
如果我們設兩個碰撞體的質量為m和m1，碰撞前的速度為v和v1，碰后的速度為u，當兩個物體開始同向運動時u=mv+m1v1m+m1，當它們相向運動時u=mv-m1v1m+m1［4］。
雷恩通過做懸置物體實驗，得出了彈性碰撞的經驗定律，但他并沒有從理論上推導出它們。雷恩的論文也發表在Phil.Trans，Vol ⅢNo.43(見圖5)。［5］
在1669年1月4日，奧爾登伯格收到了惠更斯沒有證明的彈性對心碰撞理論的論文，惠更斯的論文發表在Phil.Trans，Vol ⅣNo.46（見圖6）。從惠更斯的通信來看，他應該早在1656年就得出了這些命題及相關證明。［6］
馬里奧特(Edme Mariotte，1620-1684)也做了系統的碰撞實驗，1677年的論文traite de la percussion ou choc des corps中，主要論述用一個專門設計的裝置對碰撞定律進行實驗研究。這種裝置由兩個球組成，球用軟粘土或象牙制成，視需要哪種碰撞類型而定，球用懸線置于一個木框架，以便處于水平接觸。這兩個球能夠沿著帶刻度的弧運動，并且以能夠根據初始偏轉進行計算和控制的速度相碰撞，這樣便可以研究碰撞后的運動，馬里奧特證明了各條基本碰撞定律，其中包括“動量”守恒定律。
2.2 惠更斯的碰撞論文
惠更斯在他的《論物體的碰撞運動》（tractatus de motu corporum ex percussione）中很詳細的論述了碰撞問題，并給予了證明。［7］在他死后，這本書于1703年首次出版，其中包含5個基本假設和13個命題。假設一，遵守慣性定律；假設二，暗含碰撞是彈性對心的碰撞。碰撞物體是兩個完全相同的彈性物體，碰撞前的速度大小相等方向相反，碰撞后以同樣大小的速度分離，碰撞都發生在兩個物體中心連線上；假設三，所有的速度都是相對地面來看的；假設四，大物體沖擊原來靜止的小物體，最后必會分給小物體一些速度，而自身失去一些速度。假設五，如果相碰撞的兩物體中的一個在碰撞后速度大小未變，則另一個必定也是如此。
惠更斯是通過敘述在船上的人觀察到的現象和在岸上的人觀察到的現象來解釋13命題的。
命題一 ：一個物體以一定的速度碰撞和它完全相同的物體，碰撞后前者靜止，而后者獲得前者碰前的速度。（即m1=m2，v1=v，v2=0，碰撞后v′1=0，v′2=v）
命題二 ：如果兩個完全相同的物體，以不等速度碰撞，撞后兩者互相交換速度。（即m1=m2，v1=a，v2=b，碰撞后v′1=b，v′2=a）
這兩個命題都以前三個假設為前提。在得出命題三之前，惠更斯補充了假設四。
命題三 ：大的物體被有速度的小物體碰撞，碰后大物體會運動（即m1>m2，v1=0，v2≠0，碰后v′1≠0），惠更斯的這一命題恰好駁斥了笛卡爾關于碰撞的第四個命題。
推出命題四之前，他又補充了假設五。
命題四： 碰撞前后，兩個物體的相對速度大小不變。
(船速-ω，v1=a-ω，v2=b+ω碰后v′1=-(a-ω)，v′2=-(b+ω))
命題五： 如果兩個物體以第一次碰后的速度大小發生二次碰撞，碰后二者將獲得第一次碰前的速度大小。（v1=a，v2=b；第一次碰后 v′1=c，v′2=d；第二次碰前v1=-c，v2=-d，第二次碰后v′1=-a，v′2=-b）
命題六： 當兩個物體發生碰撞時，碰前總共具有的運動的量同碰后相比，可能增加也可能減少。運動的量按以下的方式被確定：對于不完全相同的物體如果有相同的速度，則大的物體運動的量大，對于完全相同的物體，運動的量取決于一個物體比另一個運動快多少。
很顯然，惠更斯在這里的敘述并不十分清晰，這也是在這篇論文中唯一一條不十分明確的命題。按惠更斯的敘述，我們可以這樣理解：運動的量可能跟物體的重量有關，也可能跟速度的差有關，還有可能跟這兩者的組合有關。畢竟，最一般的情況：重量不同，速度也不同時，他并沒有提及。但是在1652年的草稿里，他明確表示重力和速度是要乘積的，他可能是這樣認為的，既然重量在碰撞前后是不變的，那么關鍵問題就是碰撞前后速度的變化。這種想法既跟命題六不同，也跟現在所說的動量守恒不同。在給一位朋友的信中，惠更斯曾對命題六進行修改并得出正確的結論。但在《論物體的碰撞運動》中并沒有采用這個結果。
命題七： 當大物體以一定速度碰撞小物體時，小物體將獲得比大物體原速二倍略小的速度。（m1m2，v1=v，v2=0碰撞后v′2≈2v1且v′2<2v1）
命題八 ：如果兩個物體的速度和它們的質量成反比，則碰撞后它們以碰前速度大小返回。（m1m2=v2v1碰后v′1=v1，v′2=v2）
命題九：兩個不同大小的物體，重量的比已知，如果給出兩者在碰前的速度，可以求出碰后的速度。（如果m1m2=P，v1，v2可求v′1和v′2）
命題十：大物體m1以一定速度碰撞靜止小物體m2，小物體獲得的速度v′2，小物體以同樣的速度碰撞靜止的大物體，大物體獲得的速度v′1，則v′1v′2=m2m1。
命題十一：兩個物體發生碰撞，如果它們的質量比和速度比已知（可以用數量大小表示， 也可以用線段長度表示），它們各自的質量與速度平方的乘積之和在碰前和碰后不變，即動能守恒。(如果m1m2=p，v1v2=q已知，可證明m1v21+m2v22=m1v′21+m2v′22)惠更斯早在1652年就給出了這個公式，但當時他并未直接給出證明過程。
命題十二：一個運動物體撞擊一個靜止物體，如果在運動過程中有另一個靜止物體作媒介，則后者獲得比沒有媒介時更大的速度，當媒介物體質量為其他兩物體的比例中項時，后者將獲得最大速度。
命題十三： 如果有一系列的媒介物體，位于一個運動和一個靜止的兩物體之間，當所有的物體連續成比例時，靜止物體獲得最大速度。
2.3 惠更斯與動能守恒
惠更斯的命題是：兩個物體發生碰撞，如果它們的質量比和速度比已知（可以用數量大小表示， 也可以用線段長度表示），它們各自的質量與速度平方的乘積之和在碰前和碰后不變，即動能守恒。(如果m1m2=p，v1v2=q已知，可證明m1v21+m2v22=m1v′21+m2v′22)
下面讓我們看看惠更斯是如何證明的。假設兩個物體A、B，（見圖7）
va=AD，vb=BD，此處AD，BD既表示球的運動方向，也表示運動速度的大小。碰撞后我們發現v′a=EA，v′b=EB，令C分AB為兩部分，使得mamb=CBCA，令CE=CD，我們只要證明CB#8226;AD2+CA#8226;BD2=CB#8226;EA2+CA#8226;EB2即可證明動能守恒。
考慮各種情況，當C位于AD之間，或者D位于AC之間。
當C位于AD之間時，AD=AC+CD，AE=AC-CD因為CE=CD，所以，AD>AE，并且BE=BC+CE，BD=BC-CE所以BE>BD。
當D位于AC之間時，AE=AC+CE，AD=AC-CE，所以AE>AD，并且BD=BC+CD，BE=BC-CE，因為CE=CD，所以BD>BE。
也就是說當AD>AE時，BE>BD，當AE>AD時，BD>BE。
因為CE=CD，只要A被確定，AD2-AE2=4AC#8226;CD=4AC#8226;CE。（Euclid's Elements book Ⅱ，proposition 8）
對于第1和第5種情況，看成AC被E分；對于第2和第8種情況，看成AC被D分；對于第3和第4種情況，看成EC被A分；對于第6和第7種情況，是不存在AE2的，則上面提到的等式簡化為AD2-AE2=AD2=4AC#8226;CD=4AC#8226;CE。
同理，DC=EC，當B的位置被確定時，BE2-BD2=4BC#8226;CD=4BC#8226;CE
所以AD2-AE2BE2-BD2=ACBC
而當AD>AE時BE>BD，當AE>AD時BD>BE，
所以CB#8226;AD2+CA#8226;BD2=CB#8226;EA2+CA#8226;EB2。
3 總結
科學規律的發現不是一蹴而就的，而是一個緩慢發展的過程。單就本文論述的碰撞問題，從1638伽利略開始思考這個問題，到1686年牛頓原理的完成，也歷經了近半個世紀的時間。
惠更斯在這一過程中起到了承前啟后的作用。那么惠更斯為什么會對碰撞問題產生興趣呢？一方面源于伽利略，伽利略曾試圖討論撞擊力問題；另一方面源于笛卡爾，惠更斯利用笛卡爾自己的原理論證了笛卡爾的錯誤。笛卡爾認為，靜止和運動是相對的術語。既然沒有撇開物體的空間存在，我們只能說相對于另一物體，這一物體在運動或靜止。不幸的是，他的碰撞規則對于不同的參照系產生了不同的結果。一個較小的運動物體以原速度被一個靜止的大物體彈回，而大物體沒有任何變化。但是，如果我們更換一個參照系，考慮小物體靜止，較大的物體使它運動，大物體所失去的全部運動給了小物體，碰撞后，兩者一起運動。顯然正如笛卡爾斷言的那樣，如果運動和靜止是相對的術語，那么第二個結果與第一個結果就不一致。毫無疑問，惠更斯接受了伽利略運動的相對性的觀點。
笛卡爾對碰撞問題的嘗試，是他試圖將精確的定量力學引入到他的機械論哲學中的僅有的幾次嘗試之一。他的分析建立在動量守恒的基礎上。所謂動量，他指的是一個物體的體積和它的速度的乘積，這一概念與我們現在的動量概念相似，但不同的是他的“體積”不同于我們的“質量”，并且他對“速度”的處理也不是按一個矢量對待。笛卡兒推理到：上帝是產生運動的最終原因，而上帝是永恒的，因此宇宙中總動量必然保持恒定。
馬爾西、雷恩和馬里奧特都是通過實驗來研究碰撞問題，沃利斯和惠更斯是通過理論研究，沃利斯得出了完全非彈性碰撞的速度公式，惠更斯得出了彈性碰撞的動能守恒。但是惠更斯在完成他的碰撞理論時，有沒有明確質量的概念，這沒有文獻可以表明，據一些學者推測，他大概用的是重量。［8］牛頓則明確的定義了動量是質量與速度矢量的乘積。在牛頓的原理里，第三定律——作用力與反作用力原理是牛頓創立的；然而，就動力學而言，它可以被看作是碰撞中運動變化這一問題的延伸，而這種延伸是惠更斯早已證明過的。在伽利略與牛頓之間，沒有人對數學、力學的發展比惠更斯的貢獻更大。
參考文獻：
［1］ 查理斯 #8226;S#8226;韋特福爾著.彭萬華譯.《近代科學的建構機械論與力學》復旦大學出版社，2000年2月 p128.
［2］Richard J. Blackwell; Christiaan HuygenChristiaan Huygens' The Motion of Colliding Bodies Isis.Vol. 68， No. 4. (Dec.， 1977)， p574-597.
［3］亞#8226;沃爾夫.《十七世紀的科學、技術和哲學史》.商務印書館，1985. p264-265.
［4］亞#8226;沃爾夫《十七世紀的科學、技術和哲學史》.商務印書館，1985. p265.
［5］亞#8226;沃爾夫《十七世紀的科學、技術和哲學史》.商務印書館，1985. p266.
［6］the Avertissement in Oeuvres completes Vol XVI，p3-14.
［7］Oeuvres completes de Christiaan Huygens publiees par la Societe Hollandaise des Sciences volXVI ，pp29-91.A German version Ostwald's Klassiker der exakten Wissenschaften，No 138 ，1903.
［8］Richard J. Blackwell; Christiaan HuygenChristiaan Huygens' The Motion of Colliding Bodies Isis， Vol. 68， No. 4. (Dec.， 1977)， p574-597.
［9］錢臨照.徐良英主編《世界著名科學家傳達室記.2，物理學家》.北京：科學出版社，1992.p215-255.
［10］Descartes' Laws of Motion Richard J. Blackwell Isis， Vol. 57， No. 2. (Summer， 1966)， p. 220-234.
［11］Galileo Galilei Dialogues Concerning Two New Sciences.
(欄目編輯趙保鋼)
