是“荒謬”還是“十分復雜”
2008-04-29 00:00:00陳詩偉
物理教學探討 2008年15期
貴刊2007年第12期刊登的張連之老師的《解讀伽俐略“荒謬的結論”》一文，對是否存在v∝x的運動進行了有益的探討。該文提及教材介紹伽利略在研究自由落體運動時，猜想落體運動應該是一種簡單的、速度均勻變化的運動。不過，速度怎樣變化才算是“均勻”呢？伽利略考慮了兩種可能：“一種是速度的變化對時間來說是均勻的，即v與t成正比，另一種是速度的變化對位移來說是均勻的，即v與x成正比”。 教材必修1（2004年第1版）提到伽俐略“后來發現，如果v與x正比，將會推導出荒謬的結論”。但究竟得出什么樣的“荒謬的結論”？張老師提出用x-v圖像來說明。該文提出，用縱坐標表示位移x，橫坐標表示速度v。如果v∝x，則圖像應該是經過原點的一條直線，如圖1所示，并且認為圖像中斜率表示時間t的大小，而從圖1可以看出斜率k是一個常數，即時間是“凝固的，永恒不變的”，這顯然是荒謬的。
原文的推導方法，看似簡單明了，仔細分析卻有疑問。眾所周知，在運動學中，不管物體做什么樣的直線運動，勻變速也好，變加速也好，其位移-時間圖象的斜率（k=dxdt），確實表示物體的速度（因為速度的定義為v=dxdt）；其速度-時間圖象的斜率（k=dvdt）也確實表示物體的加速度（因為加速度的定義為a=dvdt）。然而，物體位移-速度圖象的斜率是否就一定表示物體運動的時間？原文作者顯然是這樣認為的。對此筆者卻不敢茍同，舉一個簡單的例子，設物體做勻速直線運動，不難作出其位移-速度圖象應如圖2所示，為一條垂直于v軸的直線。很明顯圖像各處的斜率k也相同的，并且始終是無窮大，難道說明時間也是凝固不變的？亦或時間始終是無窮大？這些都與勻速直線運動的實際不符，顯然這時圖像的斜率k并不表示物體運動的時間t。
另外，筆者注意到必修1第2版，已經把教材中的文字改成“后來發現，如果v與x成正比，將會推導出十分復雜的結論”。說明教材的編者也意識到了這里存在問題。
原文觀點的關鍵就是x-v圖線斜率k的物理意義，對此有必要詳細分析一下：
在位移-速度圖象中，圖線的斜率k=dxdv，由于dx=vdt，所以k=dxdv=vdtdv=vdv/dt=va，即k=va，將v=∫adt代入k=va可得：
k=∫adta（1）
從（1）式可以看出，只有當物體運動的加速度a為定值時，其斜率k才表示時間t，如果a隨時間t變化，則圖線的斜率k就不一定表示時間t！因為，伽利略在把落體運動猜想成v∝x的運動時，還無法確定該運動的加速度是否不變，只能把a當成t的函數來看待。在這樣的前提下，我們不能把圖1中的斜率簡單地理解為物體運動的時間，因而也就無法得出時間“凝固的，永恒不變的”的結果。所以原文的說明方法是存在問題的。
實際上筆者在講授本節內容時，有學生甚至提出，伽利略所猜想的所謂“速度的變化對位移來說是均勻的”運動，是否真的可以存在？這確實是個有趣的問題，為此筆者進行了如下的思考：
若物體的運動果真滿足“速度的變化對位移來說是均勻的”，則應有dv=kdx，這里的k為常量。由于dv=adt、dx=vdt、a=Fm，將它們代入dv=kdx并整理可得：
F=(km)v（2）
其中(km)是常量。即只要給物體施加與其速度成正比的外力，則其速度隨位移均勻變化，這樣的運動從理論上講是可能存在的！（2）式即該運動應滿足的力學條件。
另外，將dx=vdt代入dv=kdx并整理得1vdv=kdt，解此微分方程可得v=e(kt+C)，其中C為常數。考慮初始條件：設t=0時物體的初速為v0，代入上式可求得常數C=lnv0，再將C代入v=e(kt+C)可得這種運動的速度v隨時間t變化的規律為：
v=v0ek t（3）
如果物體所受外力方向與初速方向相同，即（2）式中的k＞0，物體做加速運動，根據（3）式可作出物體運動的v-t圖象如圖3（甲）所示；如果物體所受外力方向與初速方向相反，即（2）式中的k＜0，物體做減速運動，則物體運動的v-t圖象如圖3（乙）所示。由于物體的速度均隨位移均勻變化，所對應的x-v圖像則分別應如圖3（丙）、（丁）所示。需要注意的是在圖3（丙）、（丁）中，其斜率k雖是常量，但卻并不表示時間t。
再有，將（3）式對時間t求導，即可得到這種運動的加速度a隨時間t變化的規律為：
a=kv0ek t（4）
從以上（2）、（3）、（4）式可以看出這種運動實際上是十分復雜的變加速運動。中學階段究竟是否遇到過這樣的運動呢？答案是肯定的。下面舉一例以說明。
相距為L的兩水平光滑金屬導軌，左端用電阻R連接，一質量為m的金屬棒PQ垂直置于金屬導軌上，整個裝置又處于向下的磁感強度為B的勻強磁場中，如圖4所示。現給金屬棒一水平向右的初速度v0，不難分析，金屬棒在此后的運動過程中將受到向左的安培力作用，其值為F=BIL=B2L2vR，由于B2L2R是常量，即金屬棒所受外力滿足（2）式，因此可以判斷金屬棒的運動就是速度隨位移均勻變化的運動。
再有，金屬棒速度從v0減速到v的過程，由動量定理得-∑BIL#8226;Δt=m(v-v0)，由于∑I#8226;Δt=q，所以上式可變為BLq=m(v0-v)。另外，根據法拉第電磁感應定律，可得到此過程通過金屬棒的電量q=ΔR=BLxR，其中x是金屬棒的位移，代入BLq=m(v0-v)可得到：
x=mB2L2(v0-v)（5）
從（5）式也能看出，金屬棒在減速運動過程中，其速度的變化確實與位移成正比！位移-速度圖象應與圖3（丁）所示一致。
當然對于高一學生來說，要理解以上分析顯然是非常困難的，所以教材將“荒謬的結論”改成“十分復雜的結論”是非常有道理的。不過筆者仍然遇到不少學生在追問：自由落體運動為什么不是這種“速度的變化對位移來說是均勻的”運動？這個問題學習了牛頓第二定律后自然十分簡單，但本節內容卻在牛頓定律之前。對此，筆者認為可從邏輯推理的角度給學生以簡單的解釋：物體在落體運動的初始時刻速度為零，位移也等于零。如果物體的速度與位移成正比，則它將無法獲得速度，因為它開始就沒有任何位移。而物體如果不獲得速度，則它也就不會有下落的位移，結果是初速為零的物體永遠不會運動（而不是原文所謂的時間是“凝固的，永恒不變的”）！這顯然與落體運動是實際情形不符。這一點從本文的（3）式v=v0ek t也可以得到印證：若物體初速v0=0，則在任何時刻物體的速度v=v0ek t=0，即物體不能下落。由此可見，既要滿足初速為零，又要滿足速度隨位移均勻變化的運動確實不存在，因為它無法解釋物體從靜止到運動的過渡。
綜上所述，可以得到以下結論：物體位移-速度圖象的斜率并非一定表示時間；伽利略所猜想的“速度的變化對位移來說是均勻的”運動是可能存在的；但初速為零并且“速度的變化對位移來說是均勻的”運動確實是不存在的。以上觀點是否正確，敬請批評指正。
(欄目編輯羅琬華)
