關于數學思想方法教學的案例研究

一、教學實踐

以“多邊形面積計算的實踐活動”課為例，分析一下，我是如何設計這節課的，以及五年級學生在學習幾何初步知識方面掌握的數學思想方法的情況。

1 以數學思想方法為主線安排教學內容。

第一階段：回憶整理所用的數學思想方法。

在這節課中，我首先以學過的五個多邊形的面積公式及其推導過程為載體，讓學生回憶整理其中所應用的數學思想與方法。先讓學生說出五個圖形的面積公式；然后分小組討論每個公式的推導過程；接著我又讓學生應用轉化思想說出

最后讓學生討論，回憶整理出其中所用的數學思想方法主要有：割補法、拼合法、平移法、旋轉法，遷移思想、轉化思想等。

第二階段：應用數學思想方法解決實際問題。

我設計了四道實際應用題目。(實踐操作題。觀察發現題，先估后驗題，解決“買地”題)(1)實踐操作題：讓學生觀察教室里哪些物體的面上有我們學過的圖形，然后各小組自選一個圖形測量出必備的條件計算出這個圖形的面積。(2)觀察發現題：(如圖2)，運用觀察、比較的方法找出這幾個圖形的異同點。(3)先估后驗題：①在圖3a中大平行四邊形的面積是48平方厘米。小平行四邊形的面積是多少?②梯形的面積是72平方厘米。涂色部分面積是多少?

教師先不出示數據只出示題目，讓學生直接觀察估出陰影部分的面積是多少?然后再出示各數據，學生進行驗證估算結果的正確性。(4)解決“買地”題：某村有一塊荒地，如圖4所示，準備以每平方米200元的價格出售，如果買方有1.2萬元你認為夠嗎?

要求學生用多種方法計算組合圖形的面積，如圖5所示，學生用的方法有：在練習中，不以得出答案為目標，而以學生能否應用各種數學思想方法解決實際問題為主要目標，讓學生通過獨立思考、合作交流和自我評價等過程，提高學習的能力，培養對數學學習的興趣。

2 學生掌握數學思想方法的情況統計如下：

(1)主要的內容：有數格子法、割補法、拼合法、平移法、旋轉法、分割法、補足法、移位法、找等量法、先估后驗法、觀察對比法等以及遷移思想、轉化思想、優化思想等。

(2)掌握的深度：能說出所用方法的名稱，并進行演示的占總人數的90％以上，還能有條理地敘述推理過程的約占總人數的50％。

(3)掌握的廣度：這些方法中全部掌握的占20％左右，大部分能掌握的占80％，只掌握半數的占90％以上，其余(10％)的學生只掌握一些最常用的方法。

3 學生掌握數學思想方法存在的問題：

(1)觀察無序。如前述觀察發現題，學生不能按從“總體一部分一總體”的觀察順序，先說出共有哪幾個圖形，然后再說出每個圖形的已知條件和可求的面積，最后再進行比較找出四個圖形中的異同點。一般都是想到什么就說什么，思維缺乏條理性。

(2)估算能力差。估算不光是一種技能，更是一種良好的習慣與意識，它能幫助學生自覺地注意計算結果的合理性。前述先估后驗題，能估出第一幅圖的學生占絕大多數，而能估出第二幅圖的卻寥寥無幾。這說明學生的空間想象力還不夠強，這是一個薄弱環節。

(3)盲目分割現象多。前述“買地”題，要求學生采用多種方法求組合圖形的面積。作業中發現。學生都會用分割法進行計算，但盲目分割的現象多。如圖6所示有的分割成這種情況：學生只考慮方法要多，而不去考慮使用這些方法能否使計算簡便，初步統計有出現盲目分割的學生約占66％?？梢钥闯鰧W生的優化意識還不強。

二、教學啟示

啟示一：重視思想方法，落實培養目標。

關于“獲得數學思想方法”這一目標的落實，我曾經走過以下三種歷程：(1)只重視知識技能的獲得，根本不提所用的數學思想方法。(2)只提出所用的數學思想方法的名稱，而學生并未實際掌握。(3)以數學思想方法為主線，讓學生運用它去獲取知識和技能?，F在我教“平行四邊形的面積計算”這節課時，就讓學生自己變魔術，把一張長方形紙沿一條直線剪一刀，變成兩個圖形，再拼成一個新的圖形，如圖7所示。

然后引導學生觀察變化前后兩個圖形什么變了什么沒變，讓學生明白“等積變換”的原理。再回憶我們所用的方法，總結出“割補法”的作用。在這個基礎上，讓學生思考如何找出求平行四邊形面積的計算方法。這樣，學生就能自覺地運用“割補法”與“等積變換”的原理，把平行四邊形轉化成已學的長方形進行推導，做到不但能說出思想方法的名稱，還能具體演示和說明推導過程。顯然，我們應該提倡第三種做法。

啟示二：開展探索活動，運用思想方法。

分析自己所上的課，發現在開展探索活動中，往往存在三個不夠：(1)提供的探索時間和空間不夠。(2)提供探索的材料和民主氣氛不夠。(3)探索活動發揮中師生、生生合作的作用不夠。如在學習“三角形的面積計算”這節課上，當學生探索把三角形轉化成已學過的圖形時，過去我是這樣處理的：請同學們拿出自己準備好的兩個完全一樣的三角形拼拼看，可以拼成已學過的什么圖形?然后立即進行公式推導。這樣課堂上好像在探索，實際上卻是按教師預先設計的方案，用統一的思路與材料在被動地操作而已。現在我則拿出較多的時間，讓學生敞開思想，先猜一猜：用一個三角形可不可以?用兩個三角形可以嗎?用什么樣的兩個三角形才可以呢?然后自由選擇，分工嘗試，教師下組共同探討。這樣，課堂上學生就多一份猜想的沖動，多一點自主求異的思維和爭優的雄心。在這種情況下點明所用的思想與方法，學生一定印象深刻。

啟示三：對比、分析、總結、領悟思想方法。

在學習時，除了要多進行實際操作外，還要適時進行對比、分析與總結，讓學生掌握它的特點，明確它所依據的原理，并加以命名，這樣學生才好記，好說，又好用。如教學“梯形的而積計算”時，在展示各種探索成果之后，引導學生做下面三項工作。

(1)找出異同點。相同點：都是轉化成已學過的圖形。不同點：轉化的方法不同，①②是用一個梯形轉化，③④是用兩個完全一樣的梯形轉化。

(2)分析根據的原理。都是根據“等積變換”的原理，

(3)總結特點并命名。①②是找腰中心點、割補、旋轉一割補法：③④是重合、旋轉、平移一拼合法。都能推導出梯形面積是5=(a+b)×h÷2。

啟示四：創設問題情境，提高應用水平。

“問題是數學的心臟”，學生的積極思維往往由問題誘引，又在解決問題的過程中得到發展。如在教學“組合圖形面積的計算”中，設計像本課“買地”一題的問題情境，就能讓學生展開多角度的思維，綜合應用所學的各種數學思想方法解決問題。在多種解法面前，我注意組織學生分析研究。如這道題分割成兩塊就能解決問題，對于分割成i塊、四塊，甚至五塊的現象，我就引導學生討論，它們有什么特殊意義，從中既讓學生增強了優化意識，又讓學生發現了“找等量的方法”。例如：

①以長方形為等量：6×5×2.5＝75(平方米)

②以三角形為等量：6×5÷2×5＝75(平方米)

又例如在學生分割的基礎上，我啟發學生發現各分割塊之間的等邊關系，引導學生進行移位，拼成一個已學的圖形。

①變成梯形：(10+5×3)×6÷2＝75(平方米)

②變成梯形：(12×2+6)×5-2＝75(平方米)

這使學生眼界大開，興趣盎然，在應用中不斷提高運用數學思想方法的水平。

責任編輯：王 彬