例談數(shù)學(xué)模型的建立

案例：學(xué)習(xí)了小數(shù)除法之后，老師出示這樣一道題，2.5千克油菜子可榨油0.95千克，每千克油菜子可榨多少千克油?榨1千克油需要多少千克油菜子?學(xué)生做完后，教者進(jìn)行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)班上有95％的同學(xué)知道用除法計算，但有40％的同學(xué)第一問列式為2.5÷0.95，第二問列式為0.95+2.5。這時教者相機(jī)出示：買3千克蘋果用去15元，每千克蘋果多少元?學(xué)生做完后統(tǒng)計正確率為100％，沒有一位同學(xué)列式為3÷15。

分析：同樣是求每份量，整數(shù)除法應(yīng)用題學(xué)生能正確列式，而把整數(shù)換成小數(shù)，學(xué)生就分不清誰是被除數(shù)，誰是除數(shù)了。其實(shí)這不是個案，任教過五年級數(shù)學(xué)的老師都有過這樣的困惑。

整數(shù)乘除法在學(xué)生的生活中觸手可及，整數(shù)乘除法的意義形象、直觀，學(xué)生能脫口而出；數(shù)乘除法應(yīng)用題對于學(xué)生來說稍疏遠(yuǎn)些、抽象些。所以像上面這類題目學(xué)生能初步確定用除法計算，但根本的數(shù)量關(guān)系還是理解不透、模糊不清。其主要原因是學(xué)生沒有建立乘法數(shù)量關(guān)系的模型，因而不能更好地解釋和應(yīng)用。如果在學(xué)習(xí)了整數(shù)乘除法應(yīng)用題后通過訓(xùn)練，讓學(xué)生抽象概括出乘法應(yīng)用題的數(shù)學(xué)模型：每份量×幾份=總量。那么這個數(shù)學(xué)模型應(yīng)用在上面例題中就有這樣的兩個數(shù)量關(guān)系式：每千克油菜子榨油多少千克×多少千克油菜子=可榨油多少千克。榨1千克油需要多少千克油菜子×多少千克油=共需要多少千克油菜子。數(shù)學(xué)模型還原成了具體的現(xiàn)實(shí)問題，學(xué)生應(yīng)用模型可以很清楚地發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系，從而順利地解決問題。

數(shù)學(xué)模型是對客觀事物的一般關(guān)系的反映，也是人們以數(shù)學(xué)方式認(rèn)識具體事物、描述客觀現(xiàn)象的最基本的形式。數(shù)學(xué)的生命力在于它能有效地解決現(xiàn)實(shí)問題，而數(shù)學(xué)模型正是聯(lián)系數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，對于建構(gòu)模型，還沒有引起應(yīng)有的重視、普遍的注意。因此，數(shù)學(xué)模型已經(jīng)成為我們課堂教學(xué)中不能不說的話題。

想法：1、畫出線段圖，勾勒模型。

小學(xué)生以形象思維為主，因此小學(xué)階段的數(shù)學(xué)建模離不開形象圖。教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生畫出線段圖將蘊(yùn)藏著大量數(shù)學(xué)信息的現(xiàn)實(shí)問題形象化、簡單化，把數(shù)量之間的關(guān)系明朗化、明確化，學(xué)生把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，凸顯其中的邏輯性，以便于能很快地獲取信息，發(fā)現(xiàn)問題、分析和處理信息。

案例出示：出示甲乙兩輛汽車同時從A、B兩站相對開出，第一次在離A站90千米相遇。相遇后兩車?yán)^續(xù)以原速前進(jìn)，到達(dá)目的地后又立刻返回。第二次相遇在離A站50千米處。求AB兩站之間的路程。

學(xué)生畫出線段圖，

生1：我發(fā)現(xiàn)甲乙共走了3個全程。

生2：第一次相遇離甲地90千米，實(shí)際上就表示兩人合走一個全程時，甲走了90千米。

生3：甲乙合走3個全程，甲一共走了90×3=270千米。

生4：270+50=320千米，正好是兩個全程。320÷2=160表示一個全程。

建立線段圖的數(shù)學(xué)模型，數(shù)形結(jié)合，能直接反映問題本質(zhì)特征，為正確分析數(shù)量關(guān)系作了形象、直觀的鋪墊。學(xué)生通過分析線段圖，理清數(shù)量之間的關(guān)系，形成解題思路的初步模型，探尋解決問題的方法，激發(fā)創(chuàng)造的靈感。

2、歸納抽象，概括模型。

抽象概括是形成概念，得出規(guī)律的關(guān)鍵性手段，也是建立數(shù)學(xué)模型最為重要的思維方法。在充分觀察的基礎(chǔ)上，從許多數(shù)學(xué)事實(shí)或數(shù)學(xué)觀象中舍去個別的、非本質(zhì)的屬性，而抽象出共同的本質(zhì)屬性，構(gòu)建現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)模型。

例1：一輛汽車每小時行50千米，行1小時、2小時、3小時……各行了多少千米?所行的路程和時間有什么關(guān)系?

例2：一種圓珠筆，支數(shù)和總價如下表。

在這個過程中，舍去了與數(shù)無關(guān)的具體情節(jié)，把反映數(shù)學(xué)問題的“本質(zhì)特征”抽取出來，用關(guān)系式概括。形成數(shù)學(xué)模型。以便于后面學(xué)習(xí)中有效地進(jìn)行解釋、應(yīng)用。當(dāng)我們以抽象概括的思維方法來審視小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的許多數(shù)學(xué)問題時，可以發(fā)現(xiàn)，貌似不同的數(shù)學(xué)情景的背后，往往具有相同的思維模型。因此抽象、概括，可以加深學(xué)生對事物本質(zhì)的把握，形成一般化、形象化的認(rèn)識，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的科學(xué)。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，重要的是學(xué)會探求模式、發(fā)現(xiàn)規(guī)律。因此，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用多種方法從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)模型，初步領(lǐng)會數(shù)學(xué)建模的思想和方法，這一過程將是課堂教學(xué)中永遠(yuǎn)的生命線。