基于箕舌線函數的變步長歸一化最小均方算法

摘 要：對變步長歸一化最小均方(VS-NLMS)自適應算法進行了討論，針對其在自適應過程漸進穩態時對噪聲干擾過于敏感的不足做了改進。同時，為了協調其低穩態誤差與快速跟蹤性能間的矛盾，引入基于相關誤差項的變步長調整方案，同時采取了替代Sigmoid函數的箕舌線函數作為步長迭代公式，大大降低了計算復雜度。仿真結果表明，改進后的算法不僅具備優于歸一化最小均方算法的收斂性能，同時具備了更小的穩態失調和快速靈敏的時變跟蹤能力。

關鍵詞：自適應濾波；NLMS算法；箕舌線函數；VS-NLMS算法

中圖分類號：TN713文獻標識碼：B文章編號：1004373X(2008)1902904

Modified Variable Step-size Normalized Least-mean-square

Algorithm Based on Versoria Function

HAN Yun，XIE Chuanjun，LIU Baohua，HU Ruiqing

(The Naval Fly Academy，Huludao，125001，China)

Abstract：Variable Step-size Normalized Least-Mean-Square (VS-NLMS) algorithm is discussed，it is improved that sensitive to noise disturbance when it comes into steady statement in adaptive process.Moreover，to coordinate the conflicting requirement of low misadjustment and fast tracking rate，step size of the filters is adjusted according to the square of the time-averaged estimatinon of the autocorrelation of the noise signal.Meanwhile，versoria function is used in the new algorithm instead of the Sigmoid function for the modified complexity of the calculation.Furthermore，some simulation examples in applications of noise cancellation show the validity of the new VS-NLMS algorithm compared with other modified adaptive filtering algorithms.It has smaller steady disorder and fast time variable tracking.

Keywords：adaptive filter;NLMS algorithm;versoria function;VS-NLMS algorithm

1 引 言

在眾多自適應濾波算法中，Widrow等人提出的最小均方(Least Mean Square，LMS)算法^［1］因其具有的魯棒性、很好的跟蹤性和簡單易實現的特點，已經很廣泛地應用于干擾相消、信道均衡、系統識別以及陣列信號處理之中。但為了協調其在收斂速度與穩態誤差間的矛盾，以往的研究中提出了很多改進算法，每種算法都有其優勢與不足，比較有代表性的有歸一化最小均方誤差(NLMS)算法^［2，3］與變步長最小均方(SVS-LMS)算法^［4-6］。NLMS算法解決了輸入信號相關情況下LMS算法收斂速度慢的問題，但它受噪聲影響較大，穩態性能有待提高；SVS-LMS算法通過調整迭代步長值使得算法在不僅有較快的收斂速度，同時具有良好的穩態性能，但其易受輸入信號相關性的影響。

本文提出了一種全新的改進變步長NLMS算法。該算法結合了傳統NLMS算法與SVS-LMS算法的優勢，同時為克服SVS-LMS算法中步長因子需要進行復雜的指數運算進行迭代的缺點，引入了基于相關誤差項的箕舌線函數，改進后的迭代方法不僅簡單易于實現，而且能夠有效地排除獨立噪聲項對穩態失調的影響。另外，為進一步降低系統的穩態誤差，改進算法引入了誤差項閾值，使其在進入穩態過程后切換為簡化變步長LMS算法，排除了NLMS算法對于穩態收斂性能的不利影響。仿真結果可以看出，新算法不僅改進了傳統算法的穩態性能，同時大大提高了算法的抗噪聲能力和用于時變系統時的跟蹤性能。

2 LMS算法及相關改進算法

橫向自適應濾波器原理圖如圖1所示。在自適應濾波算法中，權系數調整的最簡單的方法即為基于最速下降法的LMS算法，該算法的參數表達式及權系數迭代公式如下：

e(n)=d(n)-wT(n)x(n)(1)

w(n+1)=w(n)+2μe(n)x(n)(2)

其中μ為控制收斂速度的常數，稱為步長因子；w(n)為權系數向量；x(n)為輸入信號向量；e(n)為誤差信號；d(n)為期望響應。

圖1 自適應濾波器原理圖

LMS算法雖然簡單易行，但對于相關輸入信號的收斂速度明顯下降，這就造成當輸入信號向量的特性值明顯發散時，算法的性能將受到嚴重的影響。另外，由于系統失調于輸入向量x(n)成正比，因此當x(n)較大時，LMS濾波器也遇到了梯度噪聲被放大問題，為解決這些問題提出了NLMS算法，將權向量失調相對于輸入向量x(n)的平方歐氏范數進行“歸一化”。其權系數向量的迭代表達式變為：

w(n+1)=w(n)+μδ+‖x(n)‖2e(k)x(k)(3)

該算法無論對于相關輸入還是不相關輸入向量都有明顯優于LMS算法的收斂速度。在克服梯度噪聲影響方面，加入了正常數δ以解決輸入向量x(n)較小時引起的數值計算問題。

變步長自適應濾波算法中，將迭代步長常數μ調整成可變函數，文獻［5］提出了基于Sigmoid函數的變步長LMS算法(即SVS-LMS算法)。該算法的步長迭代表達式為：

μ(n)=β(1-exp(-α|e(n)|2))(4)

其中α>0，0<β<1/λmax，λmax為輸入信號自相關矩陣的最大特征值。該算法通過當前的誤差情況調整收斂步長，使其有更快的收斂速度。但在實際系統中誤差項e(n)通常是被噪聲污染的，導致該算法在收斂到接近最優權向量時仍有較大振蕩，最終造成較大失調。另外，由于步長迭代需要進行指數運算，大大增加了算法的復雜度。

3 基于箕舌線函數的改進VS-NLMS算法

為簡化傳統變步長算法的計算復雜度，本文考慮用相對更加簡單易實現的箕舌線函數替代原變步長算法中的Sigmoid函數作為步長迭代公式。

阿格尼絲箕舌線函數(the witch of Agnesi or Versoria，文中簡稱為箕舌線函數“Versoria”)的表達式如下：

f(x)=a3a2+x2(5)

標準箕舌線(即a=1時)函數曲線如圖2所示。

圖2 標準箕舌線函數

圖2中虛線為箕舌線函數的相伴圓x2+(f(x)-a/2)2=a2/4。該函數以x=0為對稱軸，以f(x)=0為漸進線，其x軸負半軸曲線非常類似于Sigmoid函數，因此考慮將其與Sigmoid函數進行擬合，并提出新的步長調整方法，以簡化傳統變步長算法的運算量。

對于傳統的變步長算法來說，常以系統的均方誤差最小為準則調整步長μ的取值^［7］，而該準則又同樣是標準NLMS算法調整權值向量的原則，但由于均方誤差量忽略了獨立噪聲項的影響而容易導致收斂性能的下降。因此，本文考慮將權值迭代式中的步長調整項中的固定收斂因子μ改成可變量，并使其根據當前誤差與上一步誤差的自相關估計來控制步長更新，這樣不僅加快了原NLMS算法的收斂速度，同時也消除了不相關噪聲向量對收斂性能的不利影響。

根據以上調整原則，參照標準的箕舌線函數，將其以f(x)=0.5為對稱軸進行翻轉，則可以得到近似于Sigmoid函數的曲線形狀，同時引入曲線調整參數α，β控制步長的限幅等性質^［8］，采用當前誤差與上一時刻誤差的自相關估計控制步長大小，即可得出新的步長迭代公式為：

μ(n)=β1-1α|e(n)e(n-1)|+1(6)

將此可變步長參數代入NLMS算法的權向量迭代式，即可得到改進后的變步長歸一化最小均方(VS-NLMS)算法。該算法不僅考慮到輸入信號相關性對權值收斂的影響，同時排除了獨立噪聲向量對收斂性能的影響，使得整個收斂過程快速且魯棒性強。

但由于該權值調整方案在收斂過程進入穩態時容易由于隨機噪聲而導致步長仍有較大幅度的變化，加大了系統的失調。因此考慮穩態階段的精度問題^［9］，引入誤差項閾值e0，使得算法在進入穩態過程時切換到小步長最小均方迭代過程，放棄引入誤差項以排除隨機噪聲對算法性能的影響。

改進后的算法核心迭代表達式如下：

e(n)=d(n)-wT(n)x(n)

μ(n)=β1-1α|e(n)e(n-1)|+1

w(n+1)=w(n)+μ(n)δ+‖x(n)‖2e(k)x(k)

|e(n)|≥e0

w(n)+2μ(n)e(k)x(k)others

4 仿真分析

為驗證算法的性能，現將改進后的VS-NLMS算法與傳統的NLMS算法和SVS-LMS算法同時用于噪聲消除系統中。同時，為方便比較系統失調等性能參數，算法的參數均為在其他文獻中討論過的相對最優參數，同時仿真結果均為500次獨立仿真試驗的集平均。

4.1 高斯白噪聲輸入時算法仿真性能分析

取未知系統為7階FIR模型，假設自適應濾波器的階次與模型階次相同。輸入信號u(n)為零均值、方差為1的高斯白噪聲，主輸入端的干擾信號v(n)為與u(n)不相關的高斯白噪聲，按照文獻［5］取SNR=20 dB。在仿真實驗中，算法的相關參數選擇如下：

(1) 對NLMS算法，取μ1=0.1，并取合理的參數限幅。

(2) 對SVS-LMS算法，取α=10，β=0.2。

(3) 對本文提出的VS-NLMS算法，取β=0.6，α=0.08。

另外，為比較算法的跟蹤性能，令模型參數在迭代進行至500步時同時發生變化。在上述條件下，分別對兩種算法進行10次獨立仿真實驗，采樣點數為1 000，然后求統計平均，得出NLMS算法與VS-NLMS算法的學習曲線如圖3所示。其中，橫坐標表示迭代次數n，縱坐標表示均方誤差MSE的對數形式(即lg(MSE))。

圖3 獨立信號輸入時幾種算法的學習曲線比較圖

從圖3中可以看出，在收斂過程的初始階段，VS-NLMS算法的收斂速度明顯快于NLMS算法。在收斂過程進入穩態階段時，VS-NLMS算法又繼承了NLMS算法低穩態誤差的優點，在穩態性能上優于NLMS算法。同時在系統參數發生變化時，VS-NLMS算法也表現出很好的跟蹤性能。

4.2 相關信號作為輸入時算法仿真性能分析

為驗證算法在相關輸入信號下的性能，設相關輸入信號表達式為：

x(n)=0.8x(n-1)+r(n)

其中r(n)為單位方差白色高斯噪聲，且保證r(n)與初始系統干擾v(n)相互獨立。其他仿真條件與參數選取均與獨立信號輸入時相同，經過500次獨立仿真試驗后，得到幾種算法的學習曲線如圖4所示。

圖4 相關信號輸入時幾種算法的學習曲線比較圖

從圖4可以看出，在相關信號作為系統輸入時，改進后的變步長歸一化最小均方算法無論在收斂速度，跟蹤性能上，還是在穩態收斂精度上的性能均優于NLMS算法與傳統的SVS-LMS算法。說明該改進算法不僅適用于獨立信號環境，同時也可以很好地應用于非獨立信號環境中。

4.3 非平穩環境下的仿真性能分析

該仿真試驗給出時變系統模型如下，其系數采取如下隨機變化過程：

w(n+1)=w(n)+c(n)

其中，c(n)為零均值白色高斯噪聲，取方差σ2v=0.01。其他仿真條件同上，圖5給出了三種算法的學習曲線。

圖5 非平穩環境下幾種算法的學習曲線比較圖

從圖5可以看出，三種算法在非平穩環境下有著幾乎相同的收斂性能，但改進后的算法與其他算法相比，仍表現出它在收斂初始階段與穩態階段所兼備的優良性能，其最小的MSE已經達到了-45 dB。

5 結 語

改進后的VS-NLMS算法在保持傳統的NLMS與SVS-LMS算法性能優勢的基礎上，引入了基于箕舌線函數的變步長因子μ(n)，并在收斂過程中加入了誤差項閾值來改善整體算法的穩態性能。新算法不僅有良好的收斂速度與穩態誤差，同時簡化了步長迭代公式的計算復雜度，很好地協調了系統的抗噪聲干擾性能與快跟蹤性能間的矛盾。仿真結果驗證了算法的有效性。

參考文獻

［1］Widrow B，McCool J.A Comparison of Adaptive Algorithms Based on the Methods of Steepest Descent and Random Search［J］.Antennas and Propagation，IEEE Transactions on，1976，24(5):615-637.

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［9］Papoulis E V，Stathaki T.A Normalized Robust Mixed Norm Adaptive Algorithm for System Identification ［J］.IEEE Signal Processing，2004，1(11):56-59.

作者簡介

韓 允 男，1982年出生，遼寧鞍山人，海軍飛行學院助教。研究方向為通信對抗，自適應通信技術。

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