從“長方形周長要不要公式”談教材的深度研讀

前不久，筆者在任景業教授的博客*上讀到了易虹輝（長沙市開福區教育科研培訓中心）老師的一篇題為《沒有公式，怎么教周長》的研討文章。文章記錄了一青年教師在執教三年級上冊“花邊有多長”一課時，沒有按“常理出牌”，而是僅僅止于教材所呈現的三種算法交流、展示的教法所引發的一場圍繞“長方形周長教學要不要總結公式”的激烈爭論：

教人教版“九義”教材的老師：應該給學生總結公式“長方形的周長=（長+寬）×2”，一節數學課，如果不給學生總結一點重要的東西是不行的，總結公式就是畫龍點睛，讓老師和學生心里都知道：這節課到底學習了什么。

教新世紀教材的老師反駁道：教材沒有給出公式，是擔心學生機械套用公式，反而不注重對周長的理解。況且，新課程提倡算法多樣化，允許學生有多種不同的方法。

接觸了一點新課程理念的老教師馬上反駁：多樣化沒錯，但多樣化以后要進行“優化”；如果到最后還有學生用“連加”算周長，這就說明教師“優化”不夠，所以還是要總結公式。

授課教師回應：雖然教師沒有板書公式，但學生已經口頭總結出來了，應該可以了。優化應該讓學生自主優化，不能強求。

一老教師舉例反駁：學生口頭總結還不夠，教師一定要教公式，而且要教透、背熟，要讓學生記憶深刻。長方形的周長很簡單，但我們六年級的學生，到現在還有幾個學困生不會算長方形的周長，老是算錯。這說明周長公式很重要，對于學困生來講，能有一個公式背一背、記一記，就能把題做對，總結公式也算是關注學困生吧。

授課教師馬上質疑：你的學生背好了公式，還不會算周長，這正好證明，背公式不一定是最好的方法。

一骨干老師發言：我們成人都覺得長方形的周長=（長+寬）×2這個公式好，可是學困生理解起來還是有困難的，涉及到乘法分配律的問題，畢竟是三年級的小學生。

不少老師表示贊同：也許長方形的周長=長×2+寬×2還容易理解一些。

更多的老師受到了啟發：最容易理解的公式恐怕還是長方形的周長=長+長+寬+寬，它太形象了！直接體現了周長的意義。

老教師笑了：是啊，要是我允許那幾個學困生用連加算周長，他們肯定錯不了！

這時，最開始提出問題的那位老教師總結道：看來，算長方形的周長并不是只有唯一的公式，應該說三種方法適合三種不同層次的學生：優等生用第三種，中等生用第二種，學困生用第一種。各取所需！看來，教材沒有呈現公式還是有道理的。

各方意見你來我往，最后趨于一致：長方形的周長并不是只有唯一的公式，而應三種算法并舉，以適合不同層次的學生對長方形周長的學習需求。這個看似合理的論斷引發了筆者思索，總覺得有一種隱約的缺憾潛藏其中。反觀以上討論，雖看似對長方形周長計算的教學有了較好的定論，并在一定程度上匡正了以往概念教學“重背誦記憶，輕理解應用”的弊端，但細思，筆者認為參與論課的教師無論是在解讀教材的視角上，還是在解讀教材的深度上還存在很多不足，這妨礙著我們對教材的理性解讀，使我們的課堂無意間偏離了解放、發展學生的軌道，很有進一步探討的必要，其價值不在于能否澄清一個單純的教學問題，而是對我們如何深度解讀教材，從而更好地把握教法和學法具有很好的“解剖麻雀”的示范作用，故斗膽撰寫此文，向廣大同仁求教。

通過新舊教材文本的對比，我們不難發現三年級（上）圖形周長的教學是教材編寫變化最大一個章節，教材不再以定論的形式呈現周長公式，而是僅僅給了一個實例，任由學生發揮自己對周長概念的理解，展開算法策略的交鋒與討論。如此一變，至少應該帶給我們這樣的思考：教材在此處不呈現公式，是編者的一種策略性隱匿，還是削干強枝后的舍棄？如果是舍棄，道理何在？然而，倘若我們對教材的解讀一味限于此，“死纏爛打”，不能“退后一步，登高一望”，恐怕不會具有什么建設性的意義，視野的單一和狹窄所催生的只能是就事論事和似是而非。可惜，易老師所帶領的議課團隊恰恰出現了這種問題，因而所得出的關于長方形周長計算“優等生用第三種，中等生用第二種，學困生用第一種”的說法也就顯得厚重不足。那么我們終究應該如何研讀教材“不呈現公式”這一內容，才能對我們放下包袱、解放教學提供實質性的指導作用？筆者認為我們還應至少做足以下幾方面的工作。

一、系統研讀

所謂“系統解讀”，即需要我們具有將部分知識點融入到系統知識的范圍之內加以考量的研讀視角。如長方形的周長計算作為圖形屬性的一部分，它不會孤立存在，它必會和其他圖形的周長計算融會在一起，成為特定的、相對封閉的知識網絡，而構成這一知識網絡的“核”就是周長概念。任景業教授對周長的學習作了如下概述：1.學習周長需要與‘線’的認識相聯系；2.周長的學習，屬于測量的內容，從測量的角度來說，它關注的是線的長度。從中我們不難進一步得出圖形周長的計算需不需要公式應依賴于圍圖形一周“線”的屬性，即它是否具有可測性，也就是它上面的每個點是否都能被放在測量工具上，得到一個測量值。長方形四條邊皆為線段，具有可測性，當然不需要什么“計算公式”，進而，我們就會得到這樣的一個數學事實：由線段圍成的圖形算周長無需公式，逐段累加測量即可。這樣，我們就可以在更大的知識平臺之上獲得進一步深入的解釋，從而達到釋疑、釋惑的目的，既服己，又服眾，不會產生有道說不清、有理道不明的尷尬，利于平時的教學教研。

二、對比研讀

所謂“對比研讀”，即需要我們具有搭建起將同等知識范疇內的不同內容并置研讀平臺的意識。與長方形周長計算（線段圍成的圖形）相對應的是圓的周長計算。同樣是需計算周長，教材對長方形周長公式的“舍”顯然是一種削枝強干的“舍”，排除了多余細節的干擾，既解放了學生，又給課堂教學減了“負”。而對圓的周長計算，教材卻采用了完全不同的編寫手法，不但清楚地給出了圓周長公式的推導方法和過程，而且也極其完備地給出了圓周長公式的代數表示，這又是源于何種考慮？如是對比而讀、而思，就會促使我們溯本求源，獲得對系統知識群更深入和獨到解讀的途徑。其實，只要我們將長方形與圓的“邊線”屬性稍加對比，就可以豁然開朗：圓是曲線，因此我們無法保證能將它上面的每個點都放在測量工具上，即它的“不可測量”或“難以測量”的特性決定了圓周長計算的“迂回性”。人們在求周長的時候不是直接“測量”圓周，而是利用了它直徑的“可測性”，間接計算出了它的周長，因為這種間接計算的關系需要固定，產生應用價值，所以特定公式的產生有其必然的道理，這其中同時也完美注解了數學的基本思想——轉化思想的運用機理和效果。但可惜的是通過此種視角和途徑加以教材研讀的教師很少，這不能不說是我們教師研讀教材的一個很大的盲點。筆者曾多次在不同場合聽過“圓周長”的教學，常見如下的教學設計：教師給出長方形的周長公式、正方形的計算公式，并著重點出周長與邊的倍數關系，進而讓學生據此猜測圓周長與直徑的倍數關系。設計可謂精心，但教師費心費力所做出的卻是對教材極端錯誤、極端膚淺的解讀，傳達給學生，自然“濕柴”難煮“生飯”，既不高效，也不有效。

三、生態研讀

所謂“生態研讀”，即教師不但應該能對教材進行“好”的研讀，還應有能走出教材的大氣和勇氣。我們不妨反過頭來再看三年級（上）上教材對周長教學的安排，其共分了四個課題：什么是周長（概念教學）；游園（由線段圍成的多邊形的周長計算）；花邊有多長（長方形周長計算）；地磚的周長（正方形的周長計算）。在此，我們不難發現編者仍有對長方形、正方形周長公式“棄之不忍，提之不敢”的極大猶豫，因為根據筆者上文的分析，我們知道由線段圍成的多邊形的周長是無需公式的，只需對各段累加測量即可。但編者畢竟是在舊版教材熏染之下長大的，他們深知長、正方形周長公式存在的便利，因此，“骨子”里并沒有真正舍棄它們的勇氣，所以在設計“游園”一課之后，還是設計上了后兩個課題：“花邊有多長”和“地磚的周長”，但這顯然是一種欲罷不能的“戀舊情懷”，正如面臨搬家的家庭主婦舍不得放棄任何用慣了的“家什兒”一樣，轉來抹去，還會藏著、掖著，最終帶進新家，而至于它的價值在新的條件下是否還會繼續存在，則難有理性的考量。據此，筆者認為，“花邊有多長”和“地磚的周長”這兩個課題，從周長知識結構來看，雖不能說無用，但至少是多余的，其對學生知識結構的建構作用與前兩個課題相比，并不會產生新的效益，如果我們非要拿它在突出特殊圖形周長如何速算的策略上的作用說事兒的話，則未免“小覷”學生乘法知識的應用能力。因此，筆者認為教材此處的編寫很“小做”，不大氣，我們完全有理由將這兩個課題全然“抹去”，這在相當程度上既符合新課程對教材“刪繁就簡”的編寫精神要求，又利于放開學生的手腳，加強他們對圖形周長意義的理解，達到提高他們單位時間學習效率的目的。

當然，以上都是筆者依題而論的個人淺見，但新一輪課程改革早已對教師如何創建性地使用教材大開了“方便之門”，因此在“用好教材”的基礎上“超出教材”進行教學成為了每一個教師都需要悉心實踐、精心琢磨的迫切要求。所以，對教材進行深度研讀成了每一位教師必修的功課和必做的功夫，如果我們能掌握或自悟一定的研讀策略，并在此基礎之上達到對教材的合理揚棄，我們的課堂教學才會在突出學科自身的邏輯體系之上，煥發一派“百家爭鳴、百舸爭流”的生命景象，學生才會在我們的課堂上真正受益，并獲得持續發展的推力。

（郭紅兵：山東省東營市東營區第三中學小學部，257000）