利用數形結合思想解數學題

摘要：數與形是數學研究的兩個重要方面。一方面，借助于圖形的性質可以將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化，給人以直覺的啟示。另一方面，將圖形問題轉化為代數問題，以獲得精確的結論。本文利用數與形的結合解決數學中的一些問題，能夠直觀而形象地解決一些較為復雜的問題。

關鍵詞：數形結合；抽象；直觀；應用

引在研究過程中發現，數形結合既是一個重要的數學思想，又是一種常用的數學方法。數形結合在數學解題中有重要的指導意義，這種\"數\"與\"形\"的信息轉換，相互滲透，即數量問題和圖象性質是可以相互轉化的，這不僅可以使一些題目的解決簡捷明快，同時還可以大大開拓我們的解題思路，為研究和探求數學問題開辟了一條重要的途徑。

1 代數問題用幾何方法解決

數與形在一定條件下可以互相轉化，如某些代數問題往往有幾何背景，而借助其背景圖形的性質，可以使那些抽象的概念、復雜的數量關系變得直觀，以便于探求解題思路或找到問題的結論。

例1 求方程2Sinx=x解的個數

可以看出當x>2和x<－2時這兩個函數不可能有交點，而當－２?燮x?燮２時有三個交點。顯然方程Sinx=2x解的個數即是這兩個函數y=sinx ，y=2x的圖象交點的個數，據數形結合知它們交點的個數是3，故原方程有3個不同的解. 此題如果用其它一般的求方程的方法來求是不適宜的，例如通過移項，兩邊同時乘，除同一數，平方，開方，積分，微分等常用的解方程的方法將無濟于事。根據函數的性質進行分段的討論又將很復雜，而且很容易就出錯，甚至得不出正確的結果。但是用了數形結合的方法卻清晰，快速，準切地求出了答案。

例2求在圓(x-1)2+(x-2)2=1上的點到直線

的最大值與最小值.

分析:本題完全可以用代數的方法，即先求出圓上任意一點到直線的距離關系式，再根據函數的關系式去求的最大值與最小值.在做的過程中會發現計算非常的復雜，而且在去掉絕對值時需要進行討論正數還是負數，可以說過程是復雜易錯.

但如果建立直角坐標系，畫出這兩個函數的圖象，可以知道盡管圓上的點到直線的距離可能不同，但圓心到直線的距離是固定不變的，再根據三角形不等式的性質，判斷出(如下圖所示)所求最大值為點到直線的距離，最小值為點到直線的距離.

因此數形結合是一種極富數學特點的信息轉換，許多數量關系方面的抽象概念和解析式，若賦之以幾何意義，往往變得非常直觀形象，并使一些關系明朗化、簡單化。

2 幾何問題用代數方法解決

在解決與數量有關的問題時，根據數量的結構特征，構造出相應的幾何圖形，轉化為幾何問題，利用數形的辯證統一和各自的優勢盡快地得到解決問題的途徑，因為往往一些圖形的性質，又可以賦予數量意義，尋找恰當表達問題的數量關系式，即可使幾何問題代數化，以數助形，用代數的方法使問題得到解決。這對提高分析問題和解決問題能力的提高將有極大幫助。

例3 求由拋物線y2=2x與直線y=x-4所圍成的平面圖形的面積。

解：作出它的草圖:，

得交點A(2，-2)，B(8，4).

一般地，我們習慣選擇x為積分變量，但從圖形中可以看出，若選x為積分變量，則需要所求圖形的面積分成兩塊，即將分為兩個積分區間:[0，2]和[2，8]，并且求出當y>0和y<0時y=f(x)函數表達式，再根據數量關系用定積分求出在這兩個區間的面積之和，這種過程就比較復雜.

如果選擇y作積分變量，y∈[-2，4]，任取一個子區間[ y， y + dy]∈ [-2，4]，

數形結合解題就是在解決與幾何問題有關的問題時，將圖像信息轉換為代數信息，利用數量特征，將其轉化為代數問題。

3 數形結合可使抽象的復雜問題簡單化

巧妙應用數形結合的思想方法解決一些抽象的數學問題，有時可取到事倍功半的效果，數形結合的重點是研究“以形助數”。

例4已知|Z|=1， 求ω=2Z+2+i的幅角主值范圍

在數學解題中，方法至關重要，這對于節省時間，提高效率，煅煉能力有重要的作用。運用形數結合解題，產生較好的效果。它可以使我們進一步提高解題興趣，激活思維，開闊思路，提高綜合運用多種方法解題的能力，從而提高分析、判斷、猜想、推理、決策的能力，真正提高數學素質、創新精神和創新能力。平時應注重培養這種思想意識，爭取見數想形，以開拓視野。

數形結合是將抽象的數學語言與直觀圖形結合起來，使抽象思維與形象思維結合起來，發揮數與形兩種信息的轉換及其優勢互補與整合。巧妙應用數形結合的思想方法，不僅能直觀地發現解題的途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化解題的過程.正如我國著名數學家華羅庚所說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微。”

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