“比例線段與相似圖形”要點(diǎn)精析

一、 線段的比

如果用同一個(gè)長(zhǎng)度單位去量得兩條線段ａ、ｂ的長(zhǎng)度分別是ｍ、ｎ，那么ａ、ｂ兩條線段的比就是ｍ∶ｎ，寫成ａ∶ｂ＝ｍ∶ｎ或 = . 其中ａ、ｂ分別叫做這個(gè)線段比的前項(xiàng)和后項(xiàng).這里必須注意：

（1）兩條線段的比就是兩條線段長(zhǎng)度的比，這個(gè)比與線段所用的長(zhǎng)度單位沒(méi)有關(guān)系.

（2） 是線段ａ與線段ｂ的比值，它是一個(gè)正值，但沒(méi)有單位，一般情況下，要寫成既約的兩個(gè)正整數(shù)的比；特殊地，如果線段ａ與線段ｂ相等，那么它們的比值為1.

（3）在研究?jī)蓷l線段比的問(wèn)題中，兩條線段的長(zhǎng)度單位要一致.如果不一致，那么首先必須把它們化為同一長(zhǎng)度單位.

例1已知線段ａ＝10ｃｍ，ｂ＝1ｍ，則ａ∶ｂ＝.

分析由于兩條線段的長(zhǎng)度單位不一致，因此應(yīng)把它們化為同一長(zhǎng)度單位，再求比值.因?yàn)椋幔?0ｃｍ，ｂ＝1ｍ＝100ｃｍ，所以ａ∶ｂ＝10∶100＝1∶10.或因?yàn)椋?/p>

＝10ｃｍ＝0.1ｍ，ｂ＝1ｍ，所以ａ∶ｂ＝0.1∶1＝1∶10.

二、比例線段及其性質(zhì)

若四條線段ａ、ｂ、ｃ、ｄ滿足ａ ∶ ｂ＝c∶ d，則稱四條線段ａ、ｂ、ｃ、ｄ成比例，其中ｄ叫做ａ、ｂ、ｃ的第四比例項(xiàng).若ｂ＝ｃ，則ｂ（或ｃ）叫做ａ、ｄ的比例中項(xiàng).這里必須注意：

（1）比例線段與線段的比是兩個(gè)完全不同的概念.線段的比是兩條線段之間的比的關(guān)系，比例線段是四條線段之間的關(guān)系：兩條線段的比與另兩條線段的比相等.

（2）比例線段中的四條線段有一定的順序.例如，如果ａ∶ｂ＝c∶d，那么叫做線段ａ、ｂ、ｃ、ｄ成比例；如果b∶a＝d∶c，那么叫做線段ｂ、ａ、ｄ、ｃ成比例.

比例的基本性質(zhì)是：ａ∶ｂ＝c∶d <=> ａｄ＝ｂｃ（符號(hào)“ <=> ”讀作“等價(jià)于”，表示兩邊可以相互推出），在解題時(shí)常用基本性質(zhì)把比例式（或等積式）化為等積式（或比例式）.由比例的基本性質(zhì)還可以得到：

（1）合（分）比性質(zhì)：如果 = ，則 = ， = .

（2）等比性質(zhì)：如果 = =…= (b+d+…+n≠0)，那么 = .

許多問(wèn)題的解決都依賴于這些性質(zhì)的掌握與應(yīng)用，在應(yīng)用時(shí)，常用到比值法、方程思想、分類思想等，要認(rèn)真體會(huì)，切實(shí)掌握，靈活應(yīng)用.

例2已知ｘ∶（ｘ-ｙ）＝2∶1，則ｘ∶ｙ＝（）.

Ａ.2∶1Ｂ.3∶2Ｃ.2∶3Ｄ.1∶2

分析方法1：由ｘ ∶（ｘ-ｙ）＝2∶1，有2（ｘ-ｙ）＝ｘ，即ｘ＝2ｙ，所以ｘ∶ｙ＝2∶1，選Ａ.

方法2：由ｘ∶（ｘ-ｙ）＝2∶1，有 = ，從而有１－ ＝ ，即 ＝ ，所以 ＝ .選Ａ.

例3已知ｘ= = = ，則ｘ的值為 .

分析當(dāng)ａ＋ｂ＋ｃ≠0時(shí)，由等比性質(zhì)有ｘ＝ = .當(dāng)ａ＋ｂ＋ｃ＝0時(shí)，ａ＋ｂ

＝-ｃ，ｂ＋ｃ＝-ａ，ｃ＋ａ＝-ｂ，所以ｘ＝-1.因此ｘ＝ 或-1.

必須注意：應(yīng)用等比性質(zhì)的前提條件是分母之和不為0，如題目中沒(méi)有這樣的條件，則必須分類討論，謹(jǐn)防漏解.

三、黃金分割及其性質(zhì)

點(diǎn)Ｃ將線段ＡＢ分割成大小兩條線段，并且小段與大段的長(zhǎng)度之比等于大段的長(zhǎng)度與全長(zhǎng)的比，這種分割稱為黃金分割，點(diǎn)Ｃ叫做線段ＡＢ的黃金分割點(diǎn)，此時(shí)有ＡＣ＝ ＡＢ≈0.618ＡＢ，ＢＣ＝ ＡＢ≈0.382ＡＢ.黃金分割的應(yīng)用非常廣泛，對(duì)此應(yīng)該引起重視.

例4已知線段ＡＢ，點(diǎn)Ｐ是它的黃金分割點(diǎn)，ＡＰ ＞ＰＢ，設(shè)以ＡＰ為邊的正方形面積為ｍ，以ＰＢ、ＡＢ為邊的矩形面積為ｎ，則（）.

Ａ.ｍ＞ｎＢ.ｍ＝ｎＣ.ｍ＜ｎＤ.ｍ、ｎ的大小關(guān)系不能確定

分析因?yàn)辄c(diǎn)Ｐ是線段ＡＢ的黃金分割點(diǎn)，且ＡＰ＞ＰＢ，所以ＡＰ 2＝ＰＢ·ＡＢ，而ｍ＝ＡＰ 2，ｎ＝ＰＢ·ＡＢ，所以m=n，選Ｂ.

四、相似圖形的概念

具有相同形狀的圖形稱為相似圖形.有些圖形有一部分相像，但不一定相似.相似圖形的縮小與放大，各個(gè)部位是“同步進(jìn)行”的，變換后的圖形與原圖形相比較，線段之間的位置關(guān)系不變，各個(gè)內(nèi)角的大小關(guān)系不變.

例5根據(jù)圖1格點(diǎn)中的圖形，在圖2格點(diǎn)中畫出它的相似圖形.

分析本題答案不唯一，圖3是參考答案之一.

五、相似多邊形的特征與識(shí)別

對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等是相似多邊形的兩個(gè)重要特征，也是識(shí)別兩個(gè)多邊形是否相似缺一不可的條件.特別要注意：只滿足對(duì)應(yīng)邊成比例（如兩個(gè)菱形），只滿足對(duì)應(yīng)角相等（如兩個(gè)矩形），它們都不一定相似.此外，要注意最簡(jiǎn)單的相似多邊形——相似三角形的特征與性質(zhì)，它是我們今后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).

例6如圖4，這兩個(gè)菱形相似嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由.

分析這兩個(gè)菱形不相似，因?yàn)檫@兩個(gè)菱形的對(duì)應(yīng)角不相等，第一個(gè)菱形的內(nèi)角分別為45°，135°，45°，135°；而第二個(gè)菱形的內(nèi)角分別為60°，120°，60°，120°，它們不對(duì)應(yīng)相等.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文