代數的“形化”教學及其意義

摘要：中學代數具有抽象的特點，學生較難理解。怎樣化繁為簡、化抽象為具體，本文探討了用“形化”的方式進行教學。認為這一教學方式符合中學生知識和心理發展的特點，有利于正確地理解代數問題，有利于培養學生良好的思維品質。

關鍵詞：代數教學；“形化”；意義

列寧在談論認識論的本質時給出一個公式：“從生動的直觀到抽象的思維，再由抽象的思維到實踐，這就是認識真理、認識客觀現實的辯證的道路。”據此，人們按照認識論規律制定了一條重要的教學原則——直觀性原則。

代數以它抽象的概念、眾多的定理及公式和解題過程中的高度技巧性使學生感到要學好它很困難。本來多彩的數學變得枯燥了。初中階段是奠定數學基礎的關鍵時期，教不得法就會使學生產生數學單調乏味、抽象難懂的印象，產生厭學心理。學生有了這樣的心理情緒，要學好代數就難了。

根據直觀性教學原則，人們研究和使用了許多數學模型、圖表、多媒體輔助等來加強教學的直觀性、形象性。在直觀教學已成為經典教法的今天，大有必要探索更深層次的方法，代數“形化”教學就應運而生。

一、 什么是代數“形化”

所謂代數“形化”，就是把抽象的代數問題進行“形體化”。就是要善于使用圖形、數軸、表格、物體等來幫助學生理解和解決代數問題。這是一個引導思維的創造性的過程，有利于建立數的實物感的“形體”和強烈視覺效果的意象，使無形的數變得具有強烈的可視性和可感度，為分析問題提供方便。代數的“形”是對“數”及其表示形式進行“形化”加工的產品，它可以是各種圖像、表格，甚至是形象的語言、符號等。

二、 “形化”教學與傳統直觀教學的主要區別

“形化”教學的意義比直觀教學更加廣泛。傳統的直觀教學局限于讓學生直接感受，由此抽出概念、原理的那些具體事物、形象或模型，即用感官直接感受，為抽象思維建立感性基礎。而“形化”教學是把數學問題進行“形化”的過程。

三、 “形化”教學的意義

1. 代數的“形化”教學，適應了中學生發展的特點

人們對形的認識和感知原本就是先于數的，對形的經驗遠比對數的經驗豐富得多。回顧一下小學的教學內容，無不是以形為基礎的，概念法則也都是以直觀圖形為基礎的，若問小學生為什么 ，最大的可能就會畫出圖4來回答，毋庸諱言，代數的學習對圖形有很強的依賴性。

初中代數是小學算術的延續和擴充，二者的連續性表明它們具有不可分割的有機聯系，然而代數與算術畢竟有大量的區別和不同，如算術里研究數都是具體的，不追求數的有序和系統，而代數要研究關于數的和諧和整體性及有序結構，代數除四則運算還有乘方、開方、指數運算、對數運算等。二者在內容和方法上的不同，又必然要求思維產生一次更新和過渡，即從特殊過渡到一般，從具體過渡到抽象。

這些區別與聯系，歸納起來就是知識結構的區別與聯系，學生認知心理結構的區別與聯系，知識結構隨著教學的深入日趨完善和有序，學生認知結構并非與生俱來，調整與遷移的過程也決非自發完成。

教無定法但一定得有法，教法的選擇必須在連續性和遷移性原則指導下來設計和選擇，從連續性的角度看，初中和小學的代數是一個連貫的整體，學生心理發展水平也是一個連續過程。

因此初中代數的教法就應當與小學教學相銜接，“形化”教學應是首選方法，是搞好教學銜接的有效手段，可以促進學生認知結構的完善和遷移。從遷移性的要求看，“形化”教學是實現遷移的重要手段，小學在比較兩個（正）分數的大小時一般用前邊那種切月餅似圖形來讓學生觀察發現規律，到了初中比較兩個有理數的大小時，靠什么呢？靠數軸。有了數軸這個“形”的支撐，使學生把數的大小比較遷移到一般和普遍的意義中去，使認知結構逐漸完善起來，再從解題的需要來看，把代數問題“物化”本身就是一個解題策略，通過思維的遷移把“數”的問題轉化為“形”的問題去研究，常會顯示出空前的優越性。

例如：已知(a+b+c)c＜0 ，求證：b2＞4ac 。

若用純代數的方法去處理，繁難程度是很大的。轉化為函數問題并構建相應的圖像模型來處理，其結果就一覽無余。

根據求證b2＞4ac的特點，聯想到“形化”一個二次函數圖像，有如下簡單的快證法：

證明：由已知(a+b+c)c＜0 ，可知c≠0 ，設函數f(x)=cx2+bx+a ，易知f(1)=c+b+a ，(a+b+c)c＜0等價于cf(1)＜0 。

(1)當c＞0時，拋物線f(x)=cx2+bx+a開口向上，此時f(1)＜0，所以f(x)與ox軸有兩個交點，即cx2+bx+a=0有兩個不等實根。

(2)當c＜0時， 拋物線f(x)=cx2+bx+a開口向下，此時f(1)＞0 ，所以f(x)與ox軸有兩個交點，即cx2+bx+a=0有兩個不等實根。

綜合上述(1)，(2)可知，當(a+b+c)c＜0，…，故b2＞4ac 。

2. 有利于培養學生良好的思維品質

代數的“形化”教學可以有效地防止思維的片面和僵化，提高思維素質，促進學生思維品質向最優化方向發展。

(1) “形化”教學能有效地培養思維的敏銳性。思維的敏銳表現在快上，要快就要有思維的多起點和快的啟動速度及短的思維航程。而“形化”教學恰好在數與形之間建立了一條信息通道，放棄個別細節，從整體上進行迅速跳躍的思考與判斷，求得問題的最優化解決。

(2) 由表及里，錘煉思維的深刻性。思維的深刻性就是思維有良好的邏輯結構，能抓住事物的本質規律。形是直觀的，它透過外表揭示內在的數量特征，如集合中的韋恩圖就能深刻揭示集合的子、交、并、補等概念的本質。

(3) 有利于訓練思維的條理性。思維的條理性就是將混沌無序的問題情景梳理為一個有序結構，使得層次分明，解題思路清晰，表達井井有條。

(4) 有利于培養思維的發散性。發散思維具有多向性、大范圍、不墨守成規，善于對問題作廣泛聯想，而“形”與“象”的豐富特點正好為發散思維提供了廣泛的聯想空間。比如等式y=ab，我們可以舍棄它的具體意義，聯想所有三維量公式。

我們提倡“形化”教學，是基于它有上述功能，但任何一種教法都不可能完美無缺，它必須與其他教法有機結合才能取得成功。切忌喧賓奪主，我們利用“形”是為了最終擺脫“形”，使學生思維發展到創造性的抽象邏輯思維。

參考文獻：

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（溫州市甌海區新橋中學）