“和”等于“積”

數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，蔣老師要同學(xué)們先來(lái)口算下面每組數(shù)中兩個(gè)數(shù)的和與積。

1/3 和1/5 6和1.2 1/2和2/3 3和1.5

大家計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，有兩組數(shù)比較有趣，它們的和與積相等。

蔣老師說(shuō)：“今天我們就來(lái)研究這種有趣的現(xiàn)象——和等于積。”

蔣老師問(wèn)同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的計(jì)算中有沒(méi)有碰到過(guò)這種有趣的現(xiàn)象，同學(xué)們都說(shuō)碰到過(guò)，像0與0、2與2，它們的和等于積。

蔣老師說(shuō)：“現(xiàn)在請(qǐng)大家來(lái)看看4和，它們的和與積怎么樣？”

大家計(jì)算后告訴老師：和等于積。

接著，蔣老師又出示了和等于積的另外三組數(shù)，讓同學(xué)們仔細(xì)研究，看看能不能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律。這三組數(shù)分別是：6和1.2 ，3和1.5 ，4和4/3。

張華同學(xué)先將上面的小數(shù)都化成分?jǐn)?shù)，得到：6和6/5，3和3/2，4和4/3。通過(guò)觀察，他得出這樣的猜想：一個(gè)分子比分母大1的分?jǐn)?shù)與等于這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子的整數(shù)，它們的和與積相等。舉例驗(yàn)證：7和7/6，7＋7/6＝6/49，7x7/6＝49/6

蔣老師首先肯定了張華同學(xué)的猜想，接著又出示了兩組數(shù)：和，和。

同學(xué)們發(fā)現(xiàn)這每一組兩個(gè)數(shù)的和也等于它們的積，但這又不符合張華同學(xué)的猜想。看來(lái)和等于積的規(guī)律還不止這一條。

這時(shí)，蔣帥同學(xué)在張華的基礎(chǔ)上做了這樣的嘗試，他把上面三組數(shù)里面的整數(shù)和小數(shù)都化成假分?jǐn)?shù)，得到：和，和 ，和。由此他得出了新的猜想：分子相同、分母之和等于分子的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，它們的和等于積。舉例驗(yàn)證：和，＋＝，祝健?

后來(lái)，愛(ài)動(dòng)腦筋的張寧又有了更新的發(fā)現(xiàn)：如果將和與積相等的兩個(gè)數(shù)分別取他們的倒數(shù)后再相加，其和是1。所以張寧的猜想是：如果兩個(gè)數(shù)的倒數(shù)之和等于1，那么這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的積相等。舉例驗(yàn)證：因?yàn)? =1，所以與 的和等于它們的積。

蔣老師引導(dǎo)同學(xué)們對(duì)以上三種猜想進(jìn)行了比較，大家發(fā)現(xiàn)張寧同學(xué)的猜想就是和等于積的兩個(gè)數(shù)的一般規(guī)律。最后，蔣老師指出：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題”是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的基礎(chǔ)條件，“觀察和建立猜想”是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的關(guān)鍵所在，“驗(yàn)證和形成結(jié)論”是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的重要保證。并且要求大家完成下面的一個(gè)小課題研究。

1.算一算：求下面每組數(shù)的差與積。

和 和 和

2.猜一猜：“差等于積”的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，分子和分母可能會(huì)有什么特點(diǎn)？

3.驗(yàn)證：舉出符合這樣特點(diǎn)的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，看看是否“差等于積”？

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。