一類具有非線性阻尼項(xiàng)和力源項(xiàng)四階波動(dòng)方程局部解的存在性

摘 要：通過把方程變形為向量形式，從而引進(jìn)無窮小生成元和局部Lipschitz條件，結(jié)合Sobolev嵌入定理，利用經(jīng)典的半群理論得到了方程

關(guān)鍵詞：半群；無窮小生成元； 局部Lipschitz條件

中圖分類號(hào)：G804.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1672-3198（2008）02-0197-02

發(fā)展方程(Evolution Equation)，又稱演化方程或進(jìn)化方程，對(duì)線性的發(fā)展方程來說，例如對(duì)波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程及Schrdinger方程等等，只要初值適當(dāng)光滑，其Cauchy問題的解也必具有適當(dāng)?shù)墓饣裕以谡麄€(gè)半空間t≥0上是整體存在的。但對(duì)于非線性發(fā)展方程，情況就不同了。一般地，非線性發(fā)展方程的Cauchy問題的整體古典解通常只能在時(shí)間t的一個(gè)局部范圍存在，即使對(duì)充分光滑甚至還充分小的初值也是如此;相應(yīng)地，解在有限時(shí)間內(nèi)失去正規(guī)性，而產(chǎn)生奇性。或者說，解或解的某些導(dǎo)數(shù)的模當(dāng)t→t1時(shí)它趨于無窮。這一現(xiàn)象稱為解的Blowup。對(duì)非線性發(fā)展方程的Cauchy問題或混和初邊值問題，即使初值充分光滑(甚至充分小)，其經(jīng)典解的整體存在性一般是無法保證的。這是非線性發(fā)展方程區(qū)別于發(fā)展方程的一個(gè)重要的特點(diǎn)。 

通過把方程變形為向量形式，從而引進(jìn)無窮小生成元和局部Lipschitz條件，結(jié)合Sobolev嵌入定理，利用經(jīng)典的半群理論得到了方程的局部解的存在性。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 文中符號(hào)說明

由引理3.1知A是H上算子半群的無窮小生成元，由引理3.4知P在H上滿足局部Lipschitz條件，利用經(jīng)典的半群理論得到解的局部存在性。

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