排隊系統與存貯系統的綜合模型探討
2008-01-01 00:00:00喬現偉
現代商貿工業 2008年1期
摘 要：比較了存貯論和排隊論理論和現實中的相同之處，指出了他們相互依存的特點，從面提出了一個二者共同組成的存貯-排隊模型，并進行求解。
關鍵詞：優化；排隊系統；存貯系統
中圖分類號：F27文獻標識碼：A文章編號：1672-3198（2008）01-0096-02
1 引言
排隊論和存貯論是運籌學二個相對獨立的重要理論，是運籌學的二個重要組成部分。它們在理論上有很多相似的地方，在生產生活中往往是共同存在的。都應用非常的廣泛。
在理論方面，排隊論和存貯論都是要達到成本最小或收益最大的目的，在基本理論和目的的前提下二者都分為許多的類型，排隊系統按輸入過程分為定長分布和隨機分布，存貯系統按需求可分為確定型存貯和隨機型存貯等。在理論的推導和證明中有很多相似的地方，都運用微分法或邊際分析方法求極值，并且都用到了大量的數學知識，如隨機變量和隨機過程的知識。二者還同樣需要求出系統最優狀態下的參數，例如排隊系統中的最優服務率，最優服務臺個數，存貯系統中的存貯策略及其參數等。總而言之，排隊系統和存貯系統在理論上有很大的相似之處。在運籌學中把它們作為二個不同的理論來研究。
在現實應用中，它們往往是同時存在的，存貯系統的需求往往就是一個排隊系統，比如銀行中，有資金的存貯同時又有大量客戶對資金的需求，生產過程中，有物品存貯和大量用戶對物品的需求?？傊?，有存貯系統就必然有排隊系統的存在。二者在理論上的相似性和在應用中的共存性，使得把二者作為一個較大系統的子系統對其進行整體的研究、優化，在理論和應用中都具有很大的意義。
本文就庫存系統和排隊系統的相互影響入手，找出整個系統的最優參數，包括存貯子系統的存貯策略、排隊子系統的最優排隊空間、最優服務率和最優服務臺個數。
2 模型假設
系統模型如圖1所示：①存貯子系統根據存貯策略的需要進行存貨補充；②排隊子系統發出需求；③如果存貯子系統不缺貨則按需求提供貨物；④存貯子系統按照存貯策略進行存貨補充；⑤接受完服務的顧客攜帶所需貨物離開系統。
顧客以參數為λ的負指數分布到達系統，每當系統中有顧客到達時，排隊系統發出需求，存貯子系統按需求提供貨物。假設每位顧客只需要一個單位的貨物。顧客到達時，如果加工車間空閑，顧客立即受到服務，否則顧客要排隊等待；如果沒有排隊空間，則顧客自行離去。系統可有多個服務臺，每個服務臺一次服務于一名顧客，服務時間是參數為μ的負指數分布，服務規則是按先到先服務的規則。如果顧客到達時存貯子系統缺貨，則顧客在排隊子系統內等待。排隊子系統可以用一個M/M/s/k排隊系統來描述。
存貯系統的存貯策略為(s，S)存貯策略，即系統的最大存貯量為S，當貨物存貯量為s時進行存貨補充，補充量為(S-s)。存貨補充所需時間服從參數為ε的負指數分布。每次存貨補充有進貨費用。
3 模型求解
3.1 存貯策略的確定
存貯系統采用(s，S)存貯策略，需要確定的是s和S。設單位成本為k，單位存貯費為C1，單位缺貨費為C2，每次定購費為C3，期初存貯為I，需求r為隨機變量，其概率分布由排隊子系統決定，密度函數為Φ(r)。因缺貨費用與時間相關，缺貨時間越長，缺貨費用越多，這里假設單位時間內缺貨費用一定，在平均缺貨時間內，單位缺貨費用為一定的。
3.2 最優排隊空間的確定
排隊空間的大小是由排隊子系統中平均排隊的顧客數確定的，過大會造成空間的浪費，過小會造成顧客的不必要的流失。排隊空間的大小包括兩個方面的內容。顧客到達系統后不能立即接受服務就要排隊，這受到服務率的影響，別一方面也受到存貯子系統中缺貨情況的影響。因為如果缺貨，此時排隊系統就要停止服務，這會增加排隊系統中排隊的顧客數量。
在不缺貨的情況下，M/M/s/k排隊系統的平均排隊長的計算如下：
設N(t)表示t時刻系統的顧客數，Pn=P（N（t）），則在M/M/s/k排隊系統中有(1){N(t)，t≥0}為有限生滅過程，其狀態空間為I={1，1，2，…k}，在系統穩定的情況下：
當發生缺貨時，隊長就要在平均排隊長的基礎上，再加上在缺貨時間內進入系統的顧客數。求出發生缺貨的概率p，根據負指數分布的性質，平均補充所需時間為ε。則排隊空間的大小為：
系統發生缺貨的概率即為需求大于現存量的概率。系統在存貨量小于s的時候開始進行存貨補充，補充所需要的時間為服從參數為ε的負指數分布。由于在存貨量為s的時候，即在還沒有發生缺貨的時候就進行補充了，所以缺貨發生的概率即為在補充時間內需求量大于s的概率。
在時間t內，進入系統的平均人數為λ×t，系統中平均排隊人數為L，所以在這段進間內發生缺貨的概率為:
由此可得出系統最優排隊空間為：
3.3 最優服務臺個數和最優服務率的確定
由于在缺貨的情況下，排隊子系統的服務完全停止，而在不缺貨的情況下，排隊子系統不受存貯子系統的影響正常工作。因此，排隊子系統中的最優服務率和最優服務臺個數不受到存貯子系統的影響，僅需要考慮系統正常駐機構工作的情況來確定。
排隊子系統在平穩狀態下單位時間內的總費用是服務費用和等待費用之和為：z=cs+cwL，其中s為服務臺個數，cs為每個服務臺單位時間內的費用，cw是單位時間內待費用，L是平均長。
因此，利用邊際分析方法可得到使z最小的s確定方法為
依次求出s=1，2，…時L的值，計算相鄰兩個L值的差。根據cssw的值落入哪個與s有關的不等式中，即可確定出最優的s。
最優服務率的確定，以M/M/1/k模型為例，在平穩狀態下單位時間內時入系統的顧客數為λe=λ(1-1-ρk1-ρk+1)，也等于單位時間內服務完的顧客數。假設每服務一個顧客系統收入為G，λ=1時單位時間內服務成本為cs，于是單位時間內利潤為：
4 結論
把存貯系統和排隊系統組成的整個系統進研究要比單個對其進行研究要復雜的多，因為每個子系統變量的變化同時都會對另外一個子系統造成影響。因而，求解系統參數的時候就必須要考慮到更多的影響因素。正是因為其相互影響的作用，使得對二者單獨進行求解不會達到整個系統的最優，因此，對二者的相互影響下的參數進行研究具有理論和現實意義。
在本文中，對系統參數的求解應用了對單個子系統進行研究求解過程中考慮進另一個系統的影響的方法，具有一些局限性。排隊系統和存貯系統都有多種策策略，而同時確定這些策略也是一個比較復雜的問題，這就減少了在現實應用中的指導意義。如果能利用系統論的有關知識，求出這些參數，對生產指導會有更大的意義。
參考文獻
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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。
