滲透思想方法 感悟數(shù)學(xué)價(jià)值

片斷一：化繁為簡(jiǎn)，舉例驗(yàn)證

課件出示問(wèn)題：同學(xué)們?cè)谌L(zhǎng)1000米的小路一旁植樹(shù)，每隔5米栽一棵(兩端要栽)。一共需要多少棵樹(shù)?

1.形成猜想。

師：如果用這條線段代表這條路的一邊(課件出示一段線段)，猜一猜，一共需要多少棵樹(shù)呢?

師：聽(tīng)起來(lái)好像都有一定道理，到底哪個(gè)答案是對(duì)的呢?大家能用更加直觀的方法，來(lái)驗(yàn)證自己的答案嗎?

生：畫線段圖。

2.化繁為簡(jiǎn)。

師：畫圖驗(yàn)證，好辦法。

師(課件演示)：請(qǐng)看“兩端要種”，先在開(kāi)頭種上一棵，然后每隔5米種一棵……大家看，種了多少米?

生：25米。

師：一共要種多少米?

生：1000米。

師：照這樣一棵一棵地畫到1000米，對(duì)此你有什么感想?

生4：太累了。

生5：太麻煩了，浪費(fèi)時(shí)間。

師：英雄所見(jiàn)略同。這樣一棵一棵地畫下去，方法是可以的，但棵數(shù)太多，太麻煩了。那么，有什么更簡(jiǎn)單的方法嗎?

生6：縮短1000米。

生7：取100米試一試。

生8：取20米畫圖。

師：好辦法，把1000米先變成20米，這樣每隔5米畫一棵，畫的棵數(shù)就怎樣了?

生9：少多了，問(wèn)題也就變簡(jiǎn)單了。

師：那么，還可以變成多少米，通過(guò)畫圖找關(guān)系比較方便呢?

生10：5米或10米。

生11：我認(rèn)為只要變成是5的倍數(shù)都可以，像15米、20米、25米。

師：像這樣的數(shù)據(jù)，還有許多，對(duì)嗎?(對(duì))這樣一來(lái)，雖然不能直接驗(yàn)證，但可以從簡(jiǎn)單例子入手，看看間隔的個(gè)數(shù)和棵數(shù)到底有什么關(guān)系。

3.舉例驗(yàn)證。

要求：同桌兩人為一組，選擇喜歡的三個(gè)數(shù)據(jù)(全長(zhǎng))，通過(guò)畫一畫等方法驗(yàn)證到底需要準(zhǔn)備多少棵樹(shù)，并填入表格。

感悟一：體驗(yàn)轉(zhuǎn)化思想

楊振寧先生曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“過(guò)去的學(xué)習(xí)方法是人家指出路你去走，新的學(xué)習(xí)方法是要自己找路去走。”從上述片斷，我們看到在“解決問(wèn)題”教學(xué)中，無(wú)疑表現(xiàn)為學(xué)生主體基于教師價(jià)值引導(dǎo)下“解題策略”的構(gòu)建。為使學(xué)生對(duì)“簡(jiǎn)化”思想和“轉(zhuǎn)化”策略體驗(yàn)得更深刻，教師把教材原題的“100米”改為1000米。這樣做更能突出“繁”，讓生感受到“繁”，才有“化繁”的觀念。待猜想答案呈現(xiàn)不一致后，通過(guò)畫圖驗(yàn)證的體驗(yàn)，得出需要取小單位量來(lái)研究，如把1000米看做25米、20米、15米等，讓學(xué)生領(lǐng)悟到“解復(fù)雜問(wèn)題從簡(jiǎn)單例子入手”的方法，體驗(yàn)轉(zhuǎn)化思想。

片斷二：梳理方法，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

1.梳理方法。

師：回憶一下，剛才我們遇到兩端都要種的植樹(shù)問(wèn)題，是通過(guò)怎樣的辦法，最后成功解決的？

生1：提出猜想，再驗(yàn)證。

生2：難的問(wèn)題解決不了，舉簡(jiǎn)單的例子，然后發(fā)現(xiàn)規(guī)律，用規(guī)律解決問(wèn)題。

師：也就是說(shuō)，當(dāng)我們遇到一個(gè)不能直接解決的難題時(shí)，可以從簡(jiǎn)單的例子入手來(lái)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后再來(lái)解決。同學(xué)們看(課件出示：復(fù)雜問(wèn)題——簡(jiǎn)單問(wèn)題——發(fā)現(xiàn)規(guī)律——解決問(wèn)題)，當(dāng)我們面對(duì)一個(gè)有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題時(shí)，通常可以用這樣的解題思路去找解題方法。

2.收集數(shù)據(jù)，填寫表格。

師：通過(guò)畫圖找出了間隔數(shù)和棵數(shù)，現(xiàn)在請(qǐng)你仔細(xì)觀察表格，有什么發(fā)現(xiàn)?想一想，你的發(fā)現(xiàn)是偶然的現(xiàn)象，還是一定是這樣的?

生3：全長(zhǎng)÷間隔長(zhǎng)度=間隔數(shù)。

生4：間隔數(shù)+1=間隔點(diǎn)數(shù)。

生5：間隔點(diǎn)數(shù)=植樹(shù)棵數(shù)。

師：從簡(jiǎn)單的例子當(dāng)中，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了：間隔數(shù)+1=棵樹(shù)(板書(shū))。在你們研究的數(shù)據(jù)當(dāng)中，有間隔數(shù)+1不等于棵數(shù)的例子嗎？

師：在怎樣種的情況下，才有這樣的規(guī)律呢?

師：兩端要種(板書(shū))。

師：如果是種50米，兩端種，還有這樣的規(guī)律嗎?100米呢?1000米呢?

師(小結(jié))：看來(lái)，這樣的規(guī)律是普遍存在兩端種的植樹(shù)問(wèn)題當(dāng)中的。

感悟二：滲透推理方法，體驗(yàn)建模思想

本節(jié)課教學(xué)讓學(xué)生僅悟到把問(wèn)題簡(jiǎn)單化是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，需要從簡(jiǎn)單例子中探尋出對(duì)解決復(fù)雜問(wèn)題有效的“規(guī)律”，再用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律幫助解決問(wèn)題。這發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是學(xué)生的推理過(guò)程。從個(gè)別的、簡(jiǎn)單的幾個(gè)例子出發(fā)，逐步過(guò)渡到復(fù)雜的、更一般的情境中，是數(shù)學(xué)常用的推理方法，滲透了歸納的思想方法，使學(xué)生自主完成了對(duì)“復(fù)雜問(wèn)題——簡(jiǎn)單問(wèn)題——發(fā)現(xiàn)規(guī)律——解決問(wèn)題”的解題策略的構(gòu)建。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)原有的解題策略進(jìn)行了一次全新的擴(kuò)充。然后收集數(shù)據(jù)，將研究的結(jié)果繪制成表，發(fā)現(xiàn)了植樹(shù)問(wèn)題(兩端種)的模型，即棵數(shù)=間隔數(shù)+1。這樣，不僅發(fā)展了學(xué)生的策略性知識(shí)，同時(shí)學(xué)生的思維經(jīng)歷了“一波三折”的過(guò)程，加深了對(duì)解題方法的理解。

片斷三：開(kāi)放求聯(lián)，系統(tǒng)化知識(shí)

師：16米長(zhǎng)的一條路，如果在它的一邊每隔4米種一棵樹(shù)，需要幾棵樹(shù)?請(qǐng)快速地告訴老師答案。

生1：5棵。

生2：4棵。

生3：3棵。

師：5棵樹(shù)是怎么種的?如何列式？

師：4棵樹(shù)是怎么種的?3棵呢?請(qǐng)同桌同學(xué)互相討論，它們的間隔數(shù)和棵樹(shù)之間有著怎樣的關(guān)系?(生匯報(bào)，略)

師：生活中有這樣的情況嗎?

師(出示課件)：請(qǐng)看這三種情況，它們有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)?

師：解決這道題，對(duì)你有什么啟發(fā)?

師：想聽(tīng)聽(tīng)老師受到的啟發(fā)嗎？要敢于脫離原來(lái)的經(jīng)驗(yàn)，從題目的實(shí)際入手，尋找解題方法，因?yàn)橛袝r(shí)經(jīng)驗(yàn)往往會(huì)欺騙自己。

感悟三：突破思維定勢(shì)，體驗(yàn)方法比規(guī)律更重要

如何在最短的時(shí)間內(nèi)讓學(xué)生脫離思維定勢(shì)的影響，豐富學(xué)生對(duì)“植樹(shù)問(wèn)題”內(nèi)涵和外延的擴(kuò)充?在完成對(duì)兩端種的規(guī)律的探索和運(yùn)用后，教師乘勢(shì)拋出一道開(kāi)放題，讓學(xué)生快速報(bào)出答案。由于部分學(xué)生受經(jīng)驗(yàn)限制和思維定勢(shì)的影響，認(rèn)為只能種5棵樹(shù)，而能從思維定勢(shì)跳出來(lái)的學(xué)生認(rèn)為也可以種4棵或3樹(shù)棵，教師充分利用這一差異資源引發(fā)討論，然后呈現(xiàn)生活中兩端要種、一端要種、兩端不種的情景原型。通過(guò)這樣的開(kāi)放變式學(xué)習(xí)，不僅可以打破學(xué)生的思維定勢(shì)，而且打通了“植樹(shù)問(wèn)題”不同類型之間的關(guān)聯(lián)性和差異性，使學(xué)生明白解決植樹(shù)問(wèn)題還要聯(lián)系生活實(shí)際進(jìn)行類型鑒別。其實(shí)，規(guī)律并不重要，今天你記住了，明天、后天……忘了或者題目變了，怎么辦?關(guān)鍵是能借助畫圖法找到規(guī)律，題目會(huì)變，方法不變。

片斷四：應(yīng)用模型，解決實(shí)際問(wèn)題(略)

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的總體目標(biāo)之一就是：“讓學(xué)生能夠獲得適應(yīng)未來(lái)社會(huì)主義生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識(shí)以及基本的數(shù)學(xué)思想方法。”日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏指出：“作為知識(shí)的數(shù)學(xué)出校門不到兩年可能就忘了，惟有深深銘記在頭腦中的是數(shù)學(xué)的精神和數(shù)學(xué)的思想、研究方法、著眼點(diǎn)等，這些隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使學(xué)生終身受益。”因此，整節(jié)課自始至終都圍繞著數(shù)學(xué)思想方法的滲透進(jìn)行教學(xué)。主要圍繞四次“經(jīng)歷”開(kāi)展活動(dòng)，一是經(jīng)歷復(fù)雜問(wèn)題用簡(jiǎn)單的例子來(lái)驗(yàn)證的過(guò)程；二是讓學(xué)生經(jīng)歷構(gòu)建植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的過(guò)程；三是經(jīng)歷知識(shí)系統(tǒng)化的過(guò)程；四是讓學(xué)生經(jīng)歷應(yīng)用該模型去解決有著同樣數(shù)學(xué)特征與不同背景的實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，使學(xué)生在經(jīng)歷中形成解決植樹(shù)問(wèn)題的思想方法，達(dá)到增長(zhǎng)智慧與形成能力的學(xué)習(xí)目的，進(jìn)而感悟數(shù)學(xué)的價(jià)值。