淺談致密性定理的不同證明方法

[摘要]在《數學分析》課程的極限續論部分，提出了關于實數的七個基本定理。這些定理雖然出發的角度不同，但描寫的都是實數連續性這同一件事，它們之間是相互等價的，即任取其中兩個定理，它們可以相互證明。對同一個定理的證明，雖然不同的定理作為工具會使證明有簡繁之分，但最后卻都能殊途同歸。本文就以致密性定理為例，論述如何從不同角度對其進行證明，并總結在證明過程中的幾點發現。

[關鍵詞]實數基本定理 確界定理 單調有界定理 區間套定理 有限覆蓋定理 致密性定理 柯西收斂定理

一、分析的嚴格化——定理的出現

十七世紀，微積分這一銳利無比的數學工具為牛頓、萊布尼茨各自獨立發現，推動了科學技術的發展。一方面，微積分在應用中大獲成功；一方面其自身卻存在著邏輯矛盾。至十九世紀，由十七、十八世紀積累下來的矛盾到了非解決不可的程度。于是，在眾多數學名家的努力下，提出了七個實數基本定理！

定理表述如下：（1）實數基本定理：對R的每一個分劃A|B，都唯一的實數r，使它大于或等于下類A中的每一個實數，小于或等于上類B中的每一個實數。（2）確界定理:在實數系R內，非空的有上(下)界的數集必有上(下)確界存在。（3）單調有界原理:若數列{xn}單調上升有上界，則{xn}必有極限。（4）區間套定理:設｛［an，bn］｝是一個區間套，則必存在唯一的實數r，使得r包含在所有的區間里，即r∈I∞n=1［an，bn］。（5）有限覆蓋定理:實數閉區間[a，b]的任一覆蓋E，必存在有限的子覆蓋。（6）致密性（魏爾斯特拉斯）定理：有界數列必有收斂子數列。（7）柯西收斂定理：在實數系中，數列{xn}有極限存在的充分必要條件是：＞0，N，當n＞N，m＞N時，有｜xn-xm｜＜。

二、致密性定理的不同證明方法

1．用確界定理證明致密性定理

證明：設數列{xn}是有界數列。定義數集A={x|{xn}中大于x的點有無窮多個}

三、證明中的幾點發現

1.即使用同一個基本定理證明同一個定理，也可能有不同的方法。以下分別用兩種方法完成用單調有界定理證明致密性定理。

證法一：由上一部分的論述，我們知道，用單調有界定理證明致密性定理，可以用二分法，本質上用區間套去證明致密性定理。

證法二：首先證明有界數列{an}有單調子數列。

稱其中的項an有性質M，若對每個i＞n，都有an≥a1，也就是說，an是集合{ai|i＞n}的最大數。

2.從用有限覆蓋定理證明致密性定理和用確界定理證明致密性定理中，我們都證明了一個結論：若x0∈[a，b]， δ＞0，(x0-δ，x0+δ)中必含有xn的無限多項，則存在{xnk}為{xn}的子數列且收斂于x0。而我們發現，其實這是一個充分必要條件。

3．由單調有界定理證明致密性定理的第二種證法，我們可以得出結論：任何數列都有單調子數列。有界數列已證。而無界數列也有單調子數列。

4. 從數列的極限理論，我們知道收斂數列一定有界，但有界數列不一定收斂。在一系列需要構造收斂數列的分析問題中，往往一開始構造一個有界數列，然后由致密性定理得出子列，也即致密性定理，讓我們從“混亂”的數列中找出了“秩序”。

證明是數學的靈魂！數學是研究結構的。通常情況下，如果它受什么條件制約的話，則必有什么性質。假如具備什么條件的話，則必然有什么結果。在實數基本定理的證明之中，我們深深體會到這一點。正如在任何語言中，同一思想可以用多種表達方法一樣，同一個數學事實可以有不同的表達方式和不同的證明方法。而在證明過程中，我們不只檢驗了定理，而且對定理有了更深的理解。不同的證明還啟迪了我們的思維，交流了數學思想，促進了我們的發現。

參考文獻：

［1］陳傳璋，金福臨，朱學炎.歐陽光中.數學分析.高等教育出版社.

［2］劉玉璉，楊奎元，劉偉，呂鳳.數學分析講義.高等教育出版社.

(作者單位：福建農業職業技術學院)