深入等腰三角形，探究輔助線添加

王鍵

[摘? 要] 等腰三角形是基本的幾何圖形，具有一些特殊的幾何特性，實際解題時可充分利用其性質特點來添加輔助線，構建模型簡化解題過程. 文章將深入探究等腰三角形中輔助線添加的方法，開展教學實踐反思，提出相應的建議.

[關鍵詞] 等腰三角形;輔助線;三線合一;截長補短;衍生

等腰三角形是初中幾何需重點掌握的特殊圖形，含有眾多的幾何性質，中考常借助等腰三角形來考查學生的基礎知識和基本技能. 雖圖形結構特點較為簡單，但實際考查時設問隱蔽、條件分散，不容易構建條件鏈，此時需要充分利用等腰三角形的性質特點來添加輔助線，本文將結合實例深入探究等腰三角形中輔助線添加的四種方法.

輔助線添加方法探究

等腰三角形屬于軸對稱圖形，最為顯著的性質有兩個：一是“三線合一”，二是“等邊對等角”. 而在實際解題時可以充分利用其性質特征來構建模型，從而轉移條件，轉化解題. 常見的方法有利用“三線合一”特性轉化、截長補短構造全等、圖形衍生構等邊、平行添加構等腰.

方法一：“三線合一”特性轉化

在等腰三角形中，頂角的平分線、底邊上的高和中線相互重合，解題時可以充分利用其“三線合一”的性質特點，作底邊上的中線或者高，從而轉化問題中的幾何條件，即由線段等長推導垂直關系或等角關系.

例1? 在圖1所示的△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，點D為邊BC上的中點，點E和F分別位于AB和AC上，且BE=AF，試回答下列問題：

（1）證明DE=DF;

（2）證明DE⊥DF.

分析? 根據題設信息可知△ABC為等腰直角三角形，且點D為底邊上的中點，后續證明推理可利用“三線合一”定理，來作底邊上的中線，利用定義反推其中的兩線垂直和等角關系，進而完成證明.

解? （1）連接AD，則AD為底邊BC上的中線，由等腰三角形的“三線合一”可知AD⊥BC，∠BAD=∠CAD. 又知∠A=90°，所以∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°，則AD=BD，進而可證△BED≌△AFD，所以有DE=DF.

（2）由（1）問可知△BED≌△AFD，進而可得∠BDE=∠ADF，所以∠BDE+∠EDA=∠EDA+∠ADF=90°，則∠EDF=90°，即DE⊥DF，證畢.

評析? 利用等腰三角形“三線合一”添加輔助線，可實現等線段、等角、垂直關系三者之間的互化，為后續的模型構建打下基礎. 在解析問題時應關注圖形中的中點、平分線、垂直等特殊條件，充分聯系等腰三角形性質作輔助線.

方法二：截長補短構造全等

在等腰三角形中含有一些特殊的線段關系，此時就可以通過截長補短的方式來求證線段之間的和差關系. 如截長法，在等腰三角形邊長上截取一段線段，通過證明與另一邊相等來解題.

例2? 如圖2所示，在△ABC中，已知∠CAB=∠CBA=45°，點E為BC的中點，且CN⊥AE，與AB相交于點N，試求證AE=CN+EN.

分析? 要求解等腰三角形中的線段和差關系，可以通過截長補短的策略構造全等三角形，利用全等性質來進行線段轉化.

證明? 延長CN至點F，使得CF=AE，再連接BF，可證△CAE≌△BCF，所以∠ACE=∠CBF=90°，CE=BF. 又因為∠CBA=45°，所以∠FBN=∠EBN=45°. 點E為BC的中點，則CE=BE=BF，因為BE=BF，∠EBN=∠FBNBN=BN， ，所以△EBN≌△FBN.則NE=FN，可證AE=CN+EN.

評析? 上述采用的是等腰三角形的“補短”方法，基本思路是通過延長線段來獲得等長線段，然后利用其關系來證明三角形全等，進行等線段轉化. “截長補短”方法實際上就是一種構形策略，其關鍵還是從中提取特殊圖形或特殊關系.

方法三：圖形衍生構等邊

等腰三角形具有對稱性，與等邊三角形有一定的關聯性，可以其中一邊衍生出等邊三角形，構造兩個特殊圖形的重疊特征. 通過添加輔助線的方式可將圖形中的特殊關系串聯為整體，有利于后續條件的轉化.

例3? 在圖3所示的△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，點D位于三角形的內部，且∠DBC=10°，∠DCB=30°，試求∠DAB的度數.

分析? 上述問題在等腰三角形中設定一點，并給出相關的角度，求∠DAB的度數可以采用圖形衍生的方式構造等邊三角形，利用等腰三角形與等邊三角形之間的關系進行條件轉化.

解? 以BC為一邊向上作等邊三角形△A′BC，連接A′A，如圖3所示. 由條件可證△A′BA≌△A′CA，所以∠BA′A=∠CA′A=30°. 進一步推理可知∠A′BA=∠A′BC-∠ABC=10°，∠A′BA=∠DBC， ∠A′AB=∠A′AC=140°，可證△A′BA≌△CBD，所以AB=DB，即△BAD為等腰三角形，其中∠ABD=40°，所以∠DAB=∠BDA=70°.

評析? 上述在求解三角形的度數時采用了圖形衍生的方式，借助等腰三角形添加輔助線構建了等邊三角形，通過證明其中的三角形全等進行等角推導、角度轉化. 圖形衍生的過程實則就是特性構建的過程，可完成條件的遞推轉換.

方法四：平行添加構等腰

三角形中位線具有平行于第三邊的特性，同時其中隱含了一組相似三角形，對于涉及等腰三角形的復合圖形則可以作一腰上的平行線，構建出小的等腰三角形，實現邊、角轉移. 在作平行線時還需合理把握腰上的特殊點，利用特殊點來串聯條件鏈.

例4? 圖4中的△ABC為等腰三角形，其中AB=AC，點P由點B出發，沿著線段BA移動，同一時刻點Q由點C出發沿著線段AC的延長線移動. 已知點P和點Q兩點移動的速度相同，PQ與BC的交點為D，試回答下列問題.

（1）如圖4，若點P為AB的中點，試證明PD=QD;

（2）如圖5，過點P作BC的垂線，設垂足為E，試分析在點P和點Q移動的過程中，線段BE，DE，CD中是否存在長度不變的線段？如有請說明理由.

分析? 上述屬于幾何動點問題，題干設定了點P和點Q的移動條件，在移動過程中由動點形成的圖形特征一般，可通過作等腰三角形一腰上的平行線來構建小的等腰三角形，從而轉化其中的特性.

解? （1）點P為AB的中點，過點P作AC的平行線，與BC的交點設為F，由于點P和點Q同時出發且速度相同，則BP=CQ. 又知PF∥AQ，則∠PFB=∠ACB，∠DFP=∠DCQ. 因為AB=AC，則有∠B=∠ACB，所以∠B=∠PFB，進而可推PF=CQ. 結合上述條件可證△PFD≌△QCD，所以PD=QD.

（2）由（1）問可知PB=FP，因為PE⊥BF，所以BE=EF. 已證△PFD≌△QCD，則FD=DC，所以有ED=EF+FD=BE+DC= BC，所以線段ED的長度為定值，即DE長度保持不變.

評析? 平行添加構造相似等腰三角形的方式是基于中位線的性質定義而形成的一種特殊的模型構造方式，上述在實際構造時充分把握了腰上的中點，靈活利用兩線平行完成全等證明. 實際上，所構等腰三角形與原三角形為相似關系，問題求解時還可利用兩者的比例關系進行推理.

問題探究解后反思

添加輔助線是求解幾何問題的有效方法，但解題時需要根據問題情境和幾何特征來作輔助線. 上述是對等腰三角形中輔助線添加方法的深入探究，其中所呈現的四種方法對于拓展解題思路有著極大的幫助，下面進一步開展教學反思.

1. 深入理解圖形，把握圖形特性

等腰三角形是特殊的基本圖形，其性質特征是幾何綜合題突破的基礎，開展等腰三角形輔助線添加方法的探究，不僅可以提升學生作輔助線的能力，更重要的是使學生深刻認識圖形，理解圖形性質定理的深層內涵. 如其中的“三線合一”性質，表面上是三條不同類型的線段重合，實則是幾何條件的互化，即由垂直關系遞推等角、等線段關系. 因此教師在實際教學中要結合幾何特性開展探究學習，使學生把握圖形特性，形成以“定理”為基礎的幾何建模解題思維.

2. 歸納幾何模型，積累建模經驗

上述探究了等腰三角形四種添加輔助線的方式，實際上可將其視為四種常見的輔助模型，涉及全等模型、等腰模型、等邊模型，這些模型為條件轉化、思路構建帶來了極大便利，因此實際解題時需要注重歸納幾何模型，總結模型中的性質特征. 實際教學中，教師可以簡單的模型為引入，引導學生解讀探討模型，然后開展模型拓展，形成相應的關聯模型，還要注重引導學生總結模型構造的方法，積累建模經驗，提升學生的解題能力.

3. 滲透數學思想，提升綜合素養

等腰三角形輔助線添加的探究過程不僅是對幾何特性的綜合，同時也是思想方法的融合. 上述四種輔助線的添加方法中滲透了數學的模型思想、數形結合思想、化歸轉化思想，正是在三大思想的指導下完成了模型構造、條件轉化、推理分析. 因此教學中需要借助問題來滲透思想方法，使學生逐步感知數學思想的內涵，體驗思想方法在解題中的優勢. 同時以思想方法教學為依托，提升學生的學科素養，促進學生綜合能力的發展.