談不等式證明的解題之道

[摘要]不等式的形式與結構豐富多彩，不等式命題證明的方法也因題而異，靈活多樣，技巧性強。本文有針對性地討論了不等式證明題的常用解法及相關思路與技巧。

[關鍵詞]數學教學 不等式證明 思路與技巧

一、前言

數學中的題目形式多樣，解題的思路也靈活多種。不論要解決哪一種形式的數學題目，都存在一定模式化的解題思路和解題技巧。解題意味著從困難中去尋找一條越過障礙的路，使我們能夠達到最終目標。不等式的形式與結構豐富多彩，不等式命題證明的方法也因題而異，靈活多樣，技巧性強。然而，如果我們掌握了解題的基本方法及相關思路，相當一部分不等式問題就可以迎刃而解。本文對不等式證明題的解法及相關思路與技巧，進行了探討與歸納，以期共同尋找一條通向目標的路。

二、不等式證明常見的幾種證法

1.綜合法。其思路是：根據已知條件，從不等式的性質或基本公式出發，順勢推導出欲證的結論。它是“由因導果”的數學方法。其關鍵是尋找一個合適的不等式基本公式，以此為基礎進行推理論證。

2.分析法。其思路是：從欲證的原不等式出發，運用不等式的性質或式中的恒等變形，逐步分析使各級不等式成立的充分條件，直到找出這種充分條件已經具備，從而證明原不等式成立。它是“由果追因”的數學方法。

3.反證法。反證法是一種間接證明方法。當使用直接法遇到困難時，反證法不失為一種好的證明方法。其思路是：假設原結論不成立；從假設出發進行推理，得出與已知或定理、定義矛盾；此矛盾歸因于假設，否定假設的結論；肯定原結論的正確性。

例3.已知：△ABC的三邊a、b、c的倒數成等差數列，求證：∠B必為銳角。

證 假設∠B不是銳角，則∠B必為直角或鈍角，于是有①b>a>0， ②b>c>0，

4.數學歸納法。數學歸納法常用于與正整數有關的數學命題。首先驗證當n=1時，命題正確；其次假設當n=k時，命題正確，證明當n=k+1時命題成立。

5.構造法。在不等式證明中，運用構造思想，即思維的發散性和創造性。能開闊思路，啟發運用其它知識(如通過構造輔助函數，利用函數的性質)，使問題得以簡潔、巧妙解決。

6.放縮法與均值法。放縮法與均值法在解題中經常結合使用。放縮法其基本思想是利用不等式傳遞性強化命題。當不易直接證明不等式A>B時，可借助一個(或多個)中間量C作比較。證明A>C，C>B，從而A>B成立。用放縮法證明不等式時，要注意目標明確，放縮適當，否則可能會得出錯誤的結論。

均值法其基本作法是選用參數的平均值為輔助因式或輔助項，以這個平均值為基礎，運用不等式性質，證明原不等式成立。

7.比較法。把要證的不等式兩端通過簡單的運算直接比較，利用不等式的基本性質，證明不等式的方法。常用的比較法有兩種：①差比法，要證a>b ，通過證明a-b>0成立來實現；②商比法，要證a>b (其中b>0)，通過證明a[]b>1成立來實現。

8.代換法。變量代換是數學中常用的解題技巧。在不等式證明中也是如此。對于不等式結構比較復雜，或感到陌生，直接證明困難時，可通過適當的變量代換(代數代換或三角代換)，能簡化原有結構或實現某種轉化，從中找到解決問題的途徑。

三、結語

對數學不等式題型的證明會使許多學生感到較困難，產生原因有以下幾種：一是數學基礎知識不扎實；二是識別數學模型和組織信息的能力訓練不夠；三是在數學思考和問題解決中缺乏理念、方向感、方法和技能；四是在探索隱蔽模式顯現化過程中缺乏必要的心理素質和技能。

綜上所述，我們在求證數學不等式命題中不必拘泥于某種單一的方法，可根據具體情況靈活選擇最簡單、最優化的方法，從而達到最佳的證明效果，體現數學的簡潔性和實用性。

參考文獻：

[1]鮑難先.高中總復習(數學)點津[M].科學技術文獻出版社，2000.

[2]喬家瑞.高中數學新概念題典[M].廣西師范大學出版社等，2000.

(作者單位：福建水利電力職業技術學院)

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”