向量法與立體幾何

摘 要：向量法在立幾解題方法中具有顯著的特點、固定的思維模式，在高考中具有突出的地位與作用，因此滲透向量法的思想，對于高三學生尤為重要。

關鍵詞：向量法 特點 思維模式 應用

隨著全國新課改普遍推開，新教材大面積的推廣使用，高考指向在知識網絡交匯點處命題的思路，越來越凸現向量這一知識點重要性，特別是近幾年的全國使用新教材的高考試題逐漸加大了對這部分內容的考查力度，直接或間接考察向量的份量逐漸加大，已成為了高考命題的必考點、熱點，成為聯系三角、立體幾何、解析幾何的紐帶，其工具性作用也在日益更加凸顯。本文僅就立體幾何中使用的向量法淺談它的作用。

一、向量解題的特點

向量具有幾何式（有向線段）和代數式（坐標表示）兩種表示形式，幾何上的垂直與平行均可以轉化為向量的垂直與平行，即轉化到向量運算上，實現幾何空間的幾何結構數量化，以算代證。向量的坐標運算正體現了數形結合的思想。

利用向量法處理幾何問題具有很強的模式性，以向量為工具，可以“機械有效”地解決立體幾何問題；在立體幾何的解答過程中，利用空間向量的觀念和運算求解立體幾何問題可以將嚴密抽象的邏輯分析和論證轉換成普通的代數運算，具有突出的簡化作用。

解題分析：第一問主要考查立體幾何中線線垂直的證明，運用轉化思想，作輔助線將線線垂直轉化為線面垂直的證明；第二問主要是立體幾何中的一類探究性問題。如果考生理不清題目中的線面位置關系和數量關系的相互轉化，純用幾何知識求解，將會顯得繁瑣復雜，也不容易得到正確的結果。因此本題的命題的意圖就是考查學生對立體幾何的圖形的解讀能力和靈活選用恰當方法、高效解題的思維能力。（在實際教學中，運用多媒體展現這一解法，分析這一解法的優缺點）

二、向量法解題的思維模式

用向量只是證明立體幾何問題有兩種基本思路：一種是用向量表示幾何量，利用向量的運算進行判斷;另一種是用向量的坐標表示幾何量，共分三步：

1.建立立體圖形與空間向量的聯系，利用空間向量或坐標表示問題中所涉及的點、線、面，把立體幾何問題轉化為向量問題。特別需要指出：首先要正確合理地空間直角坐標系，（在以正方體、長方體、直棱柱、正棱錐為背景的問題中，常常建系解決問題，應注意總結恰當建系的方法）向量的坐標形式常用于證明平行、垂直問題，向量的數量積常用于求角和距離等。

2.通過向量運算，研究點、線、面之間的位置關系。

3.根據運算結果的幾何意義來解釋相關問題。

例如（2007湖北高考·理·18題）如圖，在三棱錐V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中點，且AC=BC=a，

（Ⅰ）求證：平面VAB⊥平面VCD；

（Ⅱ）當角θ變化時，求直線BC與平面VAB所成的角的取值范圍。

分析：本小題主要考查線面關系、直線與平面所成角的有關知識，考查空間想象能力和推理運算能力以及應用向量知識解決數學問題的能力。通過對本題的閱讀，學生很容易找到建立空間直角坐標系的方法，確定各點的坐標，從而將本題的問題轉化為直線的方向向量與平面的法向量的計算上來，突破了傳統立體幾何的“作、證、求”思想方法，避免較為復雜的輔助線做法。

反思：1．本題建系的方法并不唯一，還有很多方法，應注意總結恰當建系的方法，問題成功解決，是和坐標系的選擇無關的，所以向量法證幾何題明顯優越于其他方法；

=0。以上三個公式，是利用向量解決立體幾何問題的主要理論依據。

3．用向量知識證明立體幾何問題，仍然離不開立體幾何定理。

通過本文兩個例題的研究，我們可以發現：用向量法來解決中學幾何問題，克服了綜合證法常常需要添置若干輔助線而顯得思路曲折的缺點，以算代證，數形結合，因而使解題思路更加清晰、簡捷，解法順理成章。

縱觀2007年全國各地高考立幾綜合題，證明空間平行垂直關系以及求夾角、距離是高考立體幾何題的重點，而向量法在眾多方法中顯得尤為突出，因而在高三立體幾何復習教學中不僅要立足高考，夯實基礎，加強訓練，不斷提高學生的解題能力，更應該在解題的方法上多探索，尤其是向量法一定要訓練到位，提高立體幾何綜合題的解題效率，為2008年高考打下堅實的基礎。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”